数论分块

问题描述

给定一个正整数 \(n\)，求当 \(k\) 从 \(1\) 到 \(n\) 时，\(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor\) 的不同取值个数。

分析

理解 \(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor\) 的含义

• \(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor\) 表示 \(n\) 除以 \(k\) 的整数部分。
• 随着 \(k\) 的增加，\(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor\) 逐渐减小或保持不变。

分块

将 \(k\) 的范围分成若干块，使得在每个块内 \(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor\) 保持不变

也就说对于一块Q,左边界是l，右边界是r ,$$\forall i \in [l,r],\left\lfloor \frac{n}{l} \right\rfloor=\left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor=\left\lfloor \frac{n}{r} \right\rfloor$$

• 对于每个 \(m\)，定义 \(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor = m\) 的范围为：
  \[\frac{n}{m + 1} < k \leq \frac{n}{m}. \]

• 因此，满足上述不等式的整数 \(k\) 的数量为：
  \[\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{m + 1} \right\rfloor. \]

计算不同 \(m\) 值的数量

• 不同的 \(m\) 值的数量等于所有 \(m\) 中，块大小至少为 \(1\) 的 \(m\) 的数量。
• 即，需要满足：
  \[\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor > \left\lfloor \frac{n}{m + 1} \right\rfloor. \]

分布计算

1. 前半部分$ k \leq \sqrt{n} $：
   每个 $ k $ 对应唯一值 $ \lfloor n/k \rfloor \geq \lfloor \sqrt{n} \rfloor $，因此不同值数量为 $ \lfloor \sqrt{n} \rfloor $

2. 后半部分\(k >\sqrt{n}\):
   $ \lfloor n/k \rfloor $ 的取值范围为 $ 1 \leq v \leq \lfloor \sqrt{n} \rfloor $，但每个 $ v $ 对应的 $ k $ 区间为 $ \left( \frac{n}{v+1}, \frac{n}{v} \right] $。
   因此，有效 $ v $ 的个数为 $ \lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1} \rfloor $

答案

不同的 \(m\) 值的数量为：

\[\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + 1} \right\rfloor. \]

For example

$ n = 10 $ 时 \(\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor\) 不同取值个数

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1. 计算分界点：

   • \(\lfloor \sqrt{10} \rfloor = 3\)，将区间分为 \(k \leq 3\) 和 \(k > 3\) 两部分。

2. 前半部分（\(k \leq 3\)）：

   • \(k=1\): \(\lfloor 10/1 \rfloor = 10\)
   • \(k=2\): \(\lfloor 10/2 \rfloor = 5\)
   • \(k=3\): \(\lfloor 10/3 \rfloor = 3\)
   • 不同值数量：3 个（10, 5, 3）。

3. 后半部分（\(k > 3\)）：

   • 计算 \(\lfloor 10/(3+1) \rfloor = \lfloor 10/4 \rfloor = 2\)，表示可能的值为 \(2\) 和 \(1\)：
     • \(k=4\) 和 \(k=5\): \(\lfloor 10/4 \rfloor = 2\), \(\lfloor 10/5 \rfloor = 2\)
     • \(k=6\) 到 \(k=10\): \(\lfloor 10/k \rfloor = 1\)
   • 不同值数量：2 个（2, 1）。

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4. 总个数：
   • \(3 + 2 = 5\) 个不同值：\(\{10, 5, 3, 2, 1\}\)。

列出所有 \(k=1\) 到 \(k=10\) 的结果：

\[\lfloor 10/k \rfloor = \{10, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1\} \]

去重后得到 \(\{10, 5, 3, 2, 1\}\)，共 5 个不同值，与公式结果一致。

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其他例子

• \(n=6\)：\(\lfloor \sqrt{6} \rfloor = 2\)，后半部分 \(\lfloor 6/(2+1) \rfloor = 2\)，总个数 \(2+2=4\)。
  实际结果：\(\{6, 3, 2, 1\}\)。
• \(n=9\)：\(\lfloor \sqrt{9} \rfloor = 3\)，后半部分 \(\lfloor 9/(3+1) \rfloor = 2\)，总个数 \(3+2=5\)。
  实际结果：\(\{9, 4, 3, 2, 1\}\)。

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例题

求\(N\% i，(i \in [1,n])\)前k大余数和
见此题解，G题