数论分块

合集 - 数论(5)

1.整除 及 同余2021-08-102.逆元2021-08-233.有理数取余[模板]2021-08-234.素数判断及相关定理2021-08-18

5.数论分块01-31

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问题描述

给定一个正整数 $n$，求当 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 时，$\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor$ 的不同取值个数。

分析

理解 $\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor$ 的含义

• $\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor$ 表示 $n$ 除以 $k$ 的整数部分。
• 随着 $k$ 的增加，$\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor$ 逐渐减小或保持不变。

分块

将 $k$ 的范围分成若干块，使得在每个块内 $\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor$ 保持不变

也就说对于一块Q,左边界是l，右边界是r , $$\forall i \in [l,r],\left\lfloor \frac{n}{l} \right\rfloor=\left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor=\left\lfloor \frac{n}{r} \right\rfloor$$

• 对于每个 $m$，定义 $\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor = m$ 的范围为：
  $$\frac{n}{m + 1} < k \leq \frac{n}{m}.$$

• 因此，满足上述不等式的整数 $k$ 的数量为：
  $$\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{m + 1} \right\rfloor.$$

计算不同 $m$ 值的数量

• 不同的 $m$ 值的数量等于所有 $m$ 中，块大小至少为 $1$ 的 $m$ 的数量。
• 即，需要满足：
  $$\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor > \left\lfloor \frac{n}{m + 1} \right\rfloor.$$

分布计算

1. 前半部分$k \leq \sqrt{n}$：
   每个 $k$ 对应唯一值 $\lfloor n/k \rfloor \geq \lfloor \sqrt{n} \rfloor$，因此不同值数量为 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

2. 后半部分$k >\sqrt{n}$:
   $\lfloor n/k \rfloor$ 的取值范围为 $1 \leq v \leq \lfloor \sqrt{n} \rfloor$，但每个 $v$ 对应的 $k$ 区间为 $\left( \frac{n}{v+1}, \frac{n}{v} \right]$。
   因此，有效 $v$ 的个数为 $\lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1} \rfloor$

答案

不同的 $m$ 值的数量为：

$$\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + 1} \right\rfloor.$$

For example

$n = 10$ 时 $\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor$ 不同取值个数

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1. 计算分界点：

   • $\lfloor \sqrt{10} \rfloor = 3$，将区间分为 $k \leq 3$ 和 $k > 3$ 两部分。

2. 前半部分（$k \leq 3$）：

   • $k=1$: $\lfloor 10/1 \rfloor = 10$
   • $k=2$: $\lfloor 10/2 \rfloor = 5$
   • $k=3$: $\lfloor 10/3 \rfloor = 3$
   • 不同值数量：3 个（10, 5, 3）。

3. 后半部分（$k > 3$）：

   • 计算 $\lfloor 10/(3+1) \rfloor = \lfloor 10/4 \rfloor = 2$，表示可能的值为 $2$ 和 $1$：
     • $k=4$ 和 $k=5$: $\lfloor 10/4 \rfloor = 2$, $\lfloor 10/5 \rfloor = 2$
     • $k=6$ 到 $k=10$: $\lfloor 10/k \rfloor = 1$
   • 不同值数量：2 个（2, 1）。

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4. 总个数：
   • $3 + 2 = 5$ 个不同值：$\{10, 5, 3, 2, 1\}$。

列出所有 $k=1$ 到 $k=10$ 的结果：

$$\lfloor 10/k \rfloor = \{10, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1\}$$

去重后得到 $\{10, 5, 3, 2, 1\}$，共 5 个不同值，与公式结果一致。

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其他例子

• $n=6$：$\lfloor \sqrt{6} \rfloor = 2$，后半部分 $\lfloor 6/(2+1) \rfloor = 2$，总个数 $2+2=4$。
  实际结果：$\{6, 3, 2, 1\}$。
• $n=9$：$\lfloor \sqrt{9} \rfloor = 3$，后半部分 $\lfloor 9/(3+1) \rfloor = 2$，总个数 $3+2=5$。
  实际结果：$\{9, 4, 3, 2, 1\}$。

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例题

求$N\% i，(i \in [1,n])$前k大余数和
见此题解，G题