导数的几何应用

合集 - 高数(5)

1.极限limit2024-11-112.数列极限2024-12-063.导数与微分01-044.中值定理01-19

5.导数的几何应用01-21

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导数的几何应用

单调性

利用单调性证明不等式
通过判断函数的单调性，我们可以比较函数在不同点处的值的大小，证明不等式

定义

如果对于区间$I$上任意两点$x_1,x_2(x_1 < x_2)$，恒有$f(x_1) < f(x_2)$，则函数$f(x)$在$I$上单调递增；反之，若恒有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数单调递减。

判定方法：

利用导数。当函数的导数在区间上大于$0$时，函数单调递增；导数小于$0$时，函数单调递减

极值

极值是函数在局部范围内的最值,其必要条件是$f'(x_0)=0$（若有，则为$0$，可导极值点为驻点），但这只是必要条件，并非充分条件。

充分条件

1. $f(x)$在$x_0$处连续且在$x_0$两侧异号

2. $f'(x_0)=0$且$f''(x_0)\neq0$

求最值的方法：

首先，找出$(a,b)$上所有驻点和不可导点。这些点是可能的极值点

然后，求出上述点的函数值以及端点值$f(a),f(b)$。

最后，其中最大的为最大值，最小的为最小值

凹凸性

定义

设$f(x)$在区间$I$上连续，在$(a,b)$内可导，若对于任意$x_1,x_2\in(a,b)$恒有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$,则$f(x)$在$I$上的图形是凹的（或凹弧）；

反之，若$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则图形是凸的（或凸弧）。

判别方法

1）区间上$f'$单减，曲线为凸；$f'$单增，曲线为凹。
2）区间上$f''>0$，曲线为凹；$f''<0$，

拐点

• 定义与条件：
  • 拐点是连续曲线上凹凸的分界点。其必要条件是$f''(x_0)$若有，则为$0$（无要求）。
  • 充分条件有两条：第一，$f(x)$在$x_0$处连续且$f''$在$x_0$两侧异号；第二，(f'(x_0)=0)且(f'''(x_0)\neq0)。此外，还有推广的充分条件，设在(x_0)处(n)阶可导的函数(f(x))满足$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n - 1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq0$，则若$n$为奇数，$(x_0,f(x_0))$是(y = f(x))的拐点；若$n$为偶数，则$x = x_0$是极值点。
• 求拐点步骤：
  • 先求$f''$，找出$f''=0$和$f''$不存在的点。
  • 再检验上述每个点的充分条件，从而确定拐点。这些神秘的拐点就像函数图像上的转折点，标志着曲线凹凸性的变化，让函数图像更加丰富多彩。

渐近线

定义与分类：
渐近线是函数图像在无穷远处的趋势线，有三种类型

铅直渐近线：若$\lim_{x \to a^+}f(x)=\infty$或$\lim_{x \to a^-}f(x)=\infty$，则$x = a$为曲线$y = f(x)$的一条铅直渐近线。

水平渐近线：若$\lim_{x \to +\infty}f(x)=b$或$\lim_{x \to -\infty}f(x)=b$，则$y = b$是曲线$y = f(x)$的一条水平渐近线。

斜渐近线：若$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=a(a\neq0)$存在且$\lim_{x \to \infty}[f(x)-ax]=b$存在，或$\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=a(a\neq0)$且$\lim_{x \to -\infty}[f(x)-ax]=b$，则$y = ax + b$是曲线$y = f(x)$的一条斜渐近线。

找渐近线的步骤：

看铅直，找到$f(x)$的无定义点和分段点$x_0$，求$\lim_{x \to x_0}f(x)$，若为无穷大，则$x = x_0$为铅直渐近线（只需在$x = x_0$单侧极限为无穷，即有$x = x_0$为铅直渐近线）。

看水平，求$\lim_{x \to +\infty}f(x)$和$\lim_{x \to -\infty}f(x)$，若存在极限$A$，则$y = A$为水平渐近线。

斜渐近线，若$x \to +\infty$或$x \to -\infty$时无水平渐近线，则考虑该趋向的斜渐近线。求$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}$，若存在非零极限$a$，则再求$\lim_{x \to \infty}[f(x)-ax]$的极限$b$，若极限存在，则$y = ax + b$为斜渐近线

曲率与曲率圆

曲率公式：

曲线$y = f(x)$的曲率计算公式为$K = \frac{|y''|}{(1 + y'^{2})^{\frac{3}{2}}}$，它精确地度量了曲线在某点处的弯曲程度。曲率越大，曲线在该点处弯曲得越厉害；曲率越小，曲线越平缓。
对于参数方程$\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\end{cases}$表示的曲线，曲率计算公式为$K = \frac{|x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)|}{(x'^{2}(t) + y'^{2}(t))^{\frac{3}{2}}}$。

曲率半径与曲率中心：

曲率半径$\rho = 1/K$，它是与曲率相对应的一个概念，反映了曲线在某点处的弯曲程度的倒数。

曲率中心的坐标公式为$\begin{cases}\alpha = x - \frac{y'(1 + y'^{2})}{y''}\\\beta = y + \frac{1 + y'^{2}}{y''}\end{cases}$

曲率圆方程为$(x - \alpha)^{2} + (y - \beta)^{2} = \rho^{2}$