导数与微分

合集 - 高数(5)

1.极限limit2024-11-112.数列极限2024-12-06

3.导数与微分01-04

4.中值定理01-195.导数的几何应用01-21

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导数与微分

在高等数学的领域中，导数与微分是至关重要的概念

导数概念

1. 定义
   • 导数的定义基于极限的概念，函数(y = f(x))在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$表示为：
     $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

   • 这个定义有三个要点：上下一致、定点出现和双侧极极限相等
2. 本质
   • 导数的本质是变化率，它反映了函数在某一点处的变化快慢程度。
   • 几何意义:导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
   • 函数在某一点可导的充要条件是左导数等于右导数，并且函数在该点必须连续。

导数

1. 基本求导公式
   基本求导公式是导数计算的基础，包括四则运算法则
2. 反函数求导
   反函数求导公式为($\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$)，即反函数的导数是原函数导数的倒数。
3. 复合函数求导法则
   复合函数求导法则包括链式法则，对于$y = g(u(x))$，其导数为$y'=g'(u(x))\cdot u'(x)$。
4. 隐函数求导
   对于隐函数($F(x,y)=0$)，将($y$)看作($y(x)$)，通过对($x$)求导并解出($y'$)来求导。
5. 参数方程求导
   参数方程求导有两种方法：
   方法一：用定义，($\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$)。
   方法二：用公式（书写规范），如$(x^n)' = nx^{n - 1}$等常用公式。
6. 分段函数求导
   分段函数求导包括：
   各分段区间用公式求导。
   分段点处：
   1. 用定义。
   2. 用公式

常用公式

1. $(a^x)' = a^x\ln a$；$(e^x)' = e^x$
2. $y=\sin x$，则$y^\prime=\cos x$
3. $y = \cos x$，则$y^\prime = -\sin x$
4. $y=\tan x$，则$y^\prime=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x$。
5. $y=\log_{a}x$,$(a>0,a\neq1,x>0$，则$y^\prime=\frac{1}{x\ln a}$
6. $(x^n)' = nx^{n - 1}$，其中$n \in R$ and $n \neq 0$
7. $(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$其中$x\in(-1,1)$
8. $\arccos x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$其中$x\in(-1,1)$
9. $(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$，$x\in R$

高阶导数

加法法则

高阶导数的加法法则说明了对于两个可导函数 ( f(x) ) 和 ( g(x) )，它们的和的高阶导数可以通过各自的高阶导数之和来表示。具体来说，对于任意的正整数 ( n )，有：

$$(f + g)^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) + g^{(n)}(x)$$

数学归纳法可证明

乘积法则

对于两个函数 ( u(x) ) 和 ( v(x) )，其高阶导数可以用以下公式(莱布尼茨公式)计算：

$$(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)$$

其中 ( $\binom{n}{k}$ ) 是组合数，表示从 $n$ 中选择 $k$ 的方式

微分

1. 定义
   在$x_0$处，$y = f(x)$的微分$dy$定义为$dy = A\Delta x+o(\Delta x)$。
   线性主部：函数增量中占主要部分的线性部分
   $A\Delta x$即为线性主部

2. 计算
   计算微分时，$dy = y'dx$。