极限limit

"极限"是数学中的分支——微积分的基础概念，本文简要讲解极限的基础知识，题型以及常用解法

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The Limit

两个重要极限

\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1 \]

\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \]

间断点

1.第一类间断点

第一类间断点是指在该点附近的函数值存在，但在该点的极限不存在。具体来说，若 $ f(x) $ 在 $ x = c $ 附近的左极限和右极限都存在，但不相等，即：

\[ \lim_{x \to c^-} f(x) \neq \lim_{x \to c^+} f(x) \]

此时，函数在 $ x = c $ 处的值可以是有限的或无穷大。
2.第二类间断点

第二类间断点则是指在该点的极限不存在，且至少有一个方向的极限也不存在。即:

\[\lim_{x \to c} f(x) 不存在 \]

连续性

可导一定连续，连续不一定导数

\(y=f|x|\)在\(x=0\)处不可导
由连续可知

\[ \lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x) \]

\(f(x)\)在区间\([a,b]\)连续，\(f(x)_min<=f(x)<=f(x)_max\)

题型与解法

一些小技巧

1. 利用四则运算，分开算极限
2. 分子或者分母有理化
3. 因式分解
4. 常见的函数的性质:奇偶性
5. 换元法：三角换元，取倒数

取倒数

对于一些\(x\to \infty\)的情况，我们可以令\(t=\frac{1}{x}\)
则\(t\to 0\)转为我们比较熟悉的极限求解
例如

\[\displaystyle\lim_{x\to\infty}xsin\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=e \]

取指数

对于\(\forall x>0 ,x=e^{\ln x}\)，同理

\[\lim u(x)^{v(x)}=\lim e^{v(x)\ln u(x)} \]

通过这样的操作，将指数分出，在求极限时可以有更多的变化

泰勒展开

1. 等价无穷小

   等价无穷小其实就是泰勒展开的特殊情况
   
   在求极限使用时，只有式子的因子可以这样的用，如果直接当成加减法使用，答案会不正确，因为还有更小的没有考虑到

2. 泰勒展开

泰勒展开公式

指数函数 \(e^{x}\)：

• 展开式为 \(e^{x}=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^{n}=1 + x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

正弦函数 \(\sin x\)：

• 展开式为 \(\sin x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}=x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

余弦函数 \(\cos x\)：

• 展开式为 \(\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

自然对数函数 \(\ln(1 + x)\)：

• 展开式为 \(\ln (1+x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{n + 1}=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{n + 1}+\cdots\)，\(x\in(-1,1]\)。

函数 \(\frac{1}{1 - x}\)：

• 展开式为 \(\frac{1}{1 - x}=\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}=1 + x + x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

函数 \(\frac{1}{1 + x}\)：

• 展开式为 \(\frac{1}{1 + x}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=1 - x + x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

7. 函数 \((1 + x)^{\alpha}\)：
   • 展开式为 \((1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

反正切函数 \(\arctan x\)：

• 展开式为 \(\arctan x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}+\cdots\)，\(x\in[-1,1]\)。

反正弦函数 \(\arcsin x\)：

• 展开式为 \(\arcsin x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1}=x+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{3}{40}x^{3}+\frac{5}{112}x^{7}+\frac{35}{1152}x^{9}+\cdots+\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

正切函数 \(\tan x\)：

• 展开式为 \(\tan x=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^{n}(1 - 4^{n})}{(2n)!}x^{2n - 1}=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925}x^{11}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

正割函数 \(\sec x\)：

• 展开式为 \(\sec x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{61}{720}x^{6}+\cdots\)，\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。

余割函数 \(\csc x\)：

• 展开式为 \(\csc x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1}2(2^{2n - 1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120}x^{3}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440}x^{9}+\frac{1414477}{65383718400}x^{11}+\cdots\)，\(x\in(0,\pi)\)。

余切函数 \(\cot x\)：

• 展开式为 \(\cot x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945}x^{5}-\cdots\)，\(x\in(0,\pi)\)。

双曲正弦函数 \(\sinh x\)：

• 展开式为 \(\sinh x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

双曲余弦函数 \(\cosh x\)：

• 展开式为 \(\cosh x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

双曲正切函数 \(\tanh x\)：

• 展开式为 \(\tanh x=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n - 1}}{(2n)!}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}-\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}-\frac{1382}{155925}x^{11}+\cdots\)，\(\vert x\vert\lt\frac{\pi}{2}\)。

双曲正割函数 \(\operatorname{sech} x\)：

• 展开式为 \(\operatorname{sech} x=\sum_{n = 0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)}=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}-\frac{5}{112}x^{7}+\frac{35}{1152}x^{9}-\cdots+\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)}+\cdots\)，\(\vert x\vert\lt1\)。

反双曲正弦函数 \(\operatorname{arcsinh} x\)：

• 展开式为 \(\operatorname{arcsinh} x=\ln 2x-\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{-2n}}{2n}=\ln 2x-\left(\frac{1}{4}x^{-2}+\frac{3}{32}x^{-4}+\frac{15}{288}x^{-6}+\cdots+\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{-2n}}{2n}+\cdots\right)\)，\(\vert x\vert\gt1\)。

反双曲正切函数 \(\operatorname{arctanh} x\)：

• 展开式为 \(\operatorname{arctanh} x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+\cdots+\frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}+\cdots\)，\(\vert x\vert\lt1\)。

例题： $$ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-(x-x^3+o(x^3))}{x^3}=1 $$

其实你可以发现，用泰勒展开就可以得到等价无穷小
泰勒展开的唯一要求就是在展开时，展开的最高此项与已有的相同

夹逼定理

大白话：夹逼定理就是通过左右放缩，使得趋于极限时，左右的值都接近，使得原式不得不与左右值相近

从某项起，即当\( (n > N)\)时，有\((y_n\leqslant x_n\leqslant z_n)\)。

\[\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n = a \]

那么数列\({x_n}\)的极限存在，且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a\)

洛必达法则

使用时需注意\(x=x_0\)处的领域有定义

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f''(x)}{g''(x)}=....=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)} \]

例题

\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(\int_{0}^{x}e^tdt)^2}{\int_{0}^{x}e^{t^2}dt}=\lim_{x \to 0}\frac{2(\int_{0}^{x}e^tdt)}{e^{x^2-x}}=\lim_{x\to0}\frac{2e^x}{(2x-1)e^{x^2-x}}=-2 \]

拉格朗日中值定理

使用条件:$ f(x) $ 在 \(（x_1,x_2）\)可导

令$x_1<x_2 $ 则 $ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\epsilon), \epsilon \in(x_1,x_2)$

例题

\[\lim_{x\to 0^+}\frac{sinx-sin(sinx)}{x^3}=\lim_{x\to0^+}\frac{(sinx-x)f'(\epsilon)}{x^3}=\lim_{x\to 0^+}\frac{(sinx-x)cos\epsilon}{x^3} =\lim_{x\to0^+}\frac{(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)-x)cos\epsilon}{x^3}=-\frac{1}{3} \\ 由\epsilon \in (sinx,x) 则 lim_{x\to 0^+}\epsilon=0 \\ 即lim_{x\to 0^+}cos\epsilon=1 \\ \]