整除 及 同余
整除
设\(a\)为非零整数，\(b\)是整数
若存在一个整数q，使得b=a*q，则称之为b可以被a整除 记作\(a|b\)
其中\(b\)为\(a\)的倍数，\(a\)为\(b\)的约数（因子）
举例 ：\(2|4\)，\(5|10\)
整除性质及证明
1. 如果\(a|b\)且\(b|c\),则\(a|c\)
-
证明
因为\(a|b\)，所以设\(k_1=b/a\)，同理设\(k_2=c/b\)所以\(b=a*k_1,c=b*k_2=a*k_1*k_2\)
则\(a|c=a|a*k_1*k_2=k_1*k_2\)
又因为\(k_1和k_2\)为整数，所以\(a|c\)
证毕
2. 如果\(a|b\)且\(a|c\),任取\(x,y\in Z\) 则\(a|(b*x+c*y)\)
-
证明
因为\(a|b\)，所以设\(k_1=b/a\)，同理设\(k_2=c/a\)所以\(b=a*k_1,c=a*k_2\)
则\(a|(b*x+c*y)=a|(a*k_1*x+a*k_2*y)=a|a*(k_1*x+k_2*y)=k_1*x+k_2*y\)
又因为\(k_1，k_2，x，y\)都为整数，所以\(k_1*x+k_2*y\)即为整数
综上\(a|(b*x+c*y)\)
证毕
3. 设\(m≠0\)，则\(a|b\)可推出\((m*a) | (m*b)\)
-
证明
因为\(a|b\)，所以设\(k_1=b/a\)，即\(b=k_1*a\)
则\(（m*a）|(m*b)=(m*a)|(m*k_1*a)=k_1\)
又因为\(k_1\)为整数，所以\((m*a)|(m*b)\)
证毕
4. \(\forall x,y \in Z\) 满足此式 \(a*x+b*y=1\)，又当 \(a|n\)且\(b|n\)，则\((a*b)|n\)
-
证明
由性质3可得：\(a|n\rightarrow (a*b)|(n*b)，b|n\rightarrow(a*b)|(a*n)\)
由性质2可得：\(（a*b)|(a*n*x+b*n*y)\)又因为 \((a*n*x+b*n*y)=n*(a*x+b*y)=n\)
所以 \((a*b)|n\)
证毕
推论：\(\forall x,y \in Z\)满足此式 \(a*x+b*y=m(m\in Z)\)，易证\((a*b)|n*m\)
5. 若\(b=q*d+c\) 则\(d|b \leftrightarrow d|c 即（d|b的充分必要条件为d|c）\)
-
证明（反证法）
因为\(d|b\)，所以设\(k_1=b/d\)，同理设\(k_2=c/d\)则\(b=q*d+c \rightarrow d*k_1=q*d+d*k_2\) \(\rightarrow\) \(k_1=q+k_2\)
当\(k_2\)为整数时，\(k_1\)为整数；当\(k_1\)为整数时，\(k_2\)为正整数
综上，若\(b=q*d+c\) 则\(d|b \leftrightarrow d|c\)
证毕
5条性质归纳
-
如果\(a|b\)且\(b|c\),则\(a|c\)
-
如果\(a|b\)且\(a|c\),任取\(x,y\in Z\) 则\(a|(b*x+c*y)\)
-
设\(m≠0\)，则\(a|b\)可推出\((m*a) | (m*b)\)
-
\(\forall x,y \in Z\) 满足此式 \(a*x+b*y=1\)，又当 \(a|n\)且\(b|n\)，则\((a*b)|n\)
推论：\(\forall x,y \in Z\)满足此式 \(a*x+b*y=m(m\in Z)\)，则\((a*b)|n*m\) -
若\(b=q*d+c\) 则\(d|b \leftrightarrow d|c 即（d|b的充分必要条件为d|c）\)
同余
若\(a,b\)为两个整数，且\(m|(a-b)\)，则 \(a==b (\mod m)\)
设\(k=(a-b)/m\) 则\(a-b=m*k(k \in Z)\)
举例 \(7 \mod 3= 1 \mod 3\)此时\(k为2\)
\(\forall a,b,c \in Z，\forall m,n \in N\)，\(m为模\)
同余性质及证明
-
自反性：$ a\equiv a(\mod m) $
证明略 -
对称性：若\(a\equiv b(\mod m)\) 则\(b\equiv a(\mod m)\)
-
传递性：若\(a\equiv b(\mod m)，b\equiv c(\mod m)\)，则\(a\equiv c(\mod m)\)
-
证明
因为\(a\equiv b(\mod m)，b\equiv c(\mod m)\)所以若\(m|(a-b)，m|(c-b)\)
根据整除性质，如果\(a|b\)且\(a|c\),任取\(x,y\in Z\) 则\(a|(b*x+c*y)\)
此时x取-1，y取1，\(m|((a-b)*-1+(c-b)*1) \rightarrow m|(c-b)\) \(\rightarrow\) \(c==b(\mod m)\)
证毕
- 同加性: 若\(a \equiv b(\mod m)\)则 \(a+c \equiv b+c(\mod m)\)
-
证明
由\(a \equiv b(\mod m)\)则\(m|(a-b)\)\(a-b\)加上\(0=c-c\)
则\(m|(a-b+c-c)\)整理得\(m|((a+c)-(b+c))\)
所以\(a+c \equiv b+c(\mod m)\)
证毕
- 同乘性: 若\(a \equiv b(\mod m)\)，则\(a*c \equiv b*c(\mod m)\)；若\(a \equiv b(\mod m)\)，若\(c==d(\mod m)\)，则\(a*c \equiv b*d(\mod m)\)
-
证明
由\(a \equiv b(\mod m)\) 则\(m|(a-b)\) 令\(k=(a-b)/m\) 即\(k*m=a-b\)等式两边同乘以\(c\)，得\(c*k*m=(a-b)*c\)
因为\(m|c*k*m\),所以\(m|(a-b)*c\) 即\(a*c==b*c(\mod m)\)
由\(a \equiv b(\mod m)\) 则\(m|(a-b)\) 令\(k_1=(a-b)/m\) 即\(k_1*m=a-b\)
同理令\(k_2=(c-d)/m\)即\(k_2*m=c-d\)
则\(a*c-b*d=k_1*m-k_2*m=m*(k_1-k_2)\)
又因为\(m|m(k_1-k_2)\)，所以\(m|(a*c-b*d)\)，即\(a*c\equiv b*d(\mod m)\)
证毕
- 同幂性：若\(a\equiv b(\mod m)\) 则\(a^n \equiv b^n(\mod m)\)
证明就一句话带过，利用同乘性
6条性质归纳
-
自反性：$ a \equiv a(\pmod m) $
-
对称性：若\(a \equiv b \pmod m\) 则\(b==a \pmod m\)
-
传递性：若\(a \equiv b \pmod m，b\equiv c \pmod m\)，则\(a\equiv c \pmod m\)
-
同加性: 若\(a \equiv b \pmod m\)则 \(a+c\equiv b+c\pmod m\)
-
同乘性: 若\(a \equiv b \pmod m\)，则\(a*c \equiv b*c \pmod m\)；若\(a\equiv b \pmod m\)，若\(c\equiv d\pmod m\)，则\(a*c \equiv b*d\pmod m\)
-
同幂性：若\(a \equiv b(\mod m)\) 则\(a^n \equiv b^n \pmod m\)
推论
- \(a*b \mod k=(a \mod k)*(b \ mod k) mod k\)
-
证明
因为\(a \equiv (a \mod k)(\mod k)\)且\(b\equiv (b \mod k)(\mod k)\)所以\(a*b \equiv (a \mod k) * (b \mod k)( \mod k)\)
证毕
- 若\(a \mod p=x，a \mod q=x，p，q\)互质，则 \(a \mod p*q=x\)
- 证明
因为\(a \mod p=x，a \mod q=x，p，q互质\)，所以存在\(s,t\)令\(a=s*p+x,a=t*q+x\)
所以\(s*q=t*q\)
则存在整数r，令\(s=r*q\)
所以\(a=r*p*q+x\)
所以\(a \mod p*q=x\)
证毕
同余不满足同除性 即不满足\(a \div n== b \div n(\mod m)\)
概念补充
剩余类
剩余类亦称同余类
定义：对模n同余的所有整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类
根据定义，转化为数学语言：
设\(m\)是给定的正整数，以\(C_r(r=0,1,2,....,m-1)\)表示所有形如qm+r的整数组成的集合，其中\(q=0,±1,±2,.....\)则\(C_0,C_1,C_2,C_3,....,C_{m-1}\)称为模 \(m\)的剩余类。
完全剩余系
定义：在模m的剩余类中各取一个元素，则这m个数就构成了模m的一个完全剩余系
常用完全剩余系,任取m个整数\(0，1，2，3，.....,m-1\)，则构成一个完全剩余系{\(0，1，2，3，.........,m-1\)}
性质：若\(\forall r \in Z^{+}\)，{\(r_0,r_1,r_2,.....r_n\)}为完全同余系的充要条件为这n个数取模于n的余数互不相等$
（这个稍微理解透定义，就不证自明）
参考文献
信息学奥赛之数学一本通
在此鸣谢作者
后记
大部分由笔者证明，少部分是原书证明，如有错误证明烦请指出，感激不尽
学好整除同余基本性质，为后期学习奠定基础
