整除 及 同余
整除
设\(a\)为非零整数,\(b\)是整数
若存在一个整数q,使得b=a*q,则称之为b可以被a整除 记作\(a|b\)
其中\(b\)为\(a\)的倍数,\(a\)为\(b\)的约数(因子)
举例 :\(2|4\),\(5|10\)
整除性质及证明
1. 如果\(a|b\)且\(b|c\),则\(a|c\)
-
证明
因为\(a|b\),所以设\(k_1=b/a\),同理设\(k_2=c/b\)所以\(b=a*k_1,c=b*k_2=a*k_1*k_2\)
则\(a|c=a|a*k_1*k_2=k_1*k_2\)
又因为\(k_1和k_2\)为整数,所以\(a|c\)
证毕
2. 如果\(a|b\)且\(a|c\),任取\(x,y\in Z\) 则\(a|(b*x+c*y)\)
-
证明
因为\(a|b\),所以设\(k_1=b/a\),同理设\(k_2=c/a\)所以\(b=a*k_1,c=a*k_2\)
则\(a|(b*x+c*y)=a|(a*k_1*x+a*k_2*y)=a|a*(k_1*x+k_2*y)=k_1*x+k_2*y\)
又因为\(k_1,k_2,x,y\)都为整数,所以\(k_1*x+k_2*y\)即为整数
综上\(a|(b*x+c*y)\)
证毕
3. 设\(m≠0\),则\(a|b\)可推出\((m*a) | (m*b)\)
-
证明
因为\(a|b\),所以设\(k_1=b/a\),即\(b=k_1*a\)
则\((m*a)|(m*b)=(m*a)|(m*k_1*a)=k_1\)
又因为\(k_1\)为整数,所以\((m*a)|(m*b)\)
证毕
4. \(\forall x,y \in Z\) 满足此式 \(a*x+b*y=1\),又当 \(a|n\)且\(b|n\),则\((a*b)|n\)
-
证明
由性质3可得:\(a|n\rightarrow (a*b)|(n*b),b|n\rightarrow(a*b)|(a*n)\)
由性质2可得:\((a*b)|(a*n*x+b*n*y)\)又因为 \((a*n*x+b*n*y)=n*(a*x+b*y)=n\)
所以 \((a*b)|n\)
证毕
推论:\(\forall x,y \in Z\)满足此式 \(a*x+b*y=m(m\in Z)\),易证\((a*b)|n*m\)
5. 若\(b=q*d+c\) 则\(d|b \leftrightarrow d|c 即(d|b的充分必要条件为d|c)\)
-
证明(反证法)
因为\(d|b\),所以设\(k_1=b/d\),同理设\(k_2=c/d\)则\(b=q*d+c \rightarrow d*k_1=q*d+d*k_2\) \(\rightarrow\) \(k_1=q+k_2\)
当\(k_2\)为整数时,\(k_1\)为整数;当\(k_1\)为整数时,\(k_2\)为正整数
综上,若\(b=q*d+c\) 则\(d|b \leftrightarrow d|c\)
证毕
5条性质归纳
-
如果\(a|b\)且\(b|c\),则\(a|c\)
-
如果\(a|b\)且\(a|c\),任取\(x,y\in Z\) 则\(a|(b*x+c*y)\)
-
设\(m≠0\),则\(a|b\)可推出\((m*a) | (m*b)\)
-
\(\forall x,y \in Z\) 满足此式 \(a*x+b*y=1\),又当 \(a|n\)且\(b|n\),则\((a*b)|n\)
推论:\(\forall x,y \in Z\)满足此式 \(a*x+b*y=m(m\in Z)\),则\((a*b)|n*m\) -
若\(b=q*d+c\) 则\(d|b \leftrightarrow d|c 即(d|b的充分必要条件为d|c)\)
同余
若\(a,b\)为两个整数,且\(m|(a-b)\),则 \(a==b (\mod m)\)
设\(k=(a-b)/m\) 则\(a-b=m*k(k \in Z)\)
举例 \(7 \mod 3= 1 \mod 3\)此时\(k为2\)
\(\forall a,b,c \in Z,\forall m,n \in N\),\(m为模\)
同余性质及证明
-
自反性:$ a==a(\mod m) $
证明略 -
对称性:若\(a==b(\mod m)\) 则\(b==a(\mod m)\)
-
传递性:若\(a==b(\mod m),b==c(\mod m)\),则\(a==c(\mod m)\)
-
证明
因为\(a==b(\mod m),b==c(\mod m)\)所以若\(m|(a-b),m|(c-b)\)
根据整除性质,如果\(a|b\)且\(a|c\),任取\(x,y\in Z\) 则\(a|(b*x+c*y)\)
此时x取-1,y取1,\(m|((a-b)*-1+(c-b)*1) \rightarrow m|(c-b)\) \(\rightarrow\) \(c==b(\mod m)\)
证毕
- 同加性: 若\(a==b(\mod m)\)则 \(a+c==b+c(\mod m)\)
-
证明
由\(a==b(\mod m)\)则\(m|(a-b)\)\(a-b\)加上\(0=c-c\)
则\(m|(a-b+c-c)\)整理得\(m|((a+c)-(b+c))\)
所以\(a+c==b+c(\mod m)\)
证毕
- 同乘性: 若\(a==b(\mod m)\),则\(a*c==b*c(\mod m)\);若\(a==b(\mod m)\),若\(c==d(\mod m)\),则\(a*c==b*d(\mod m)\)
-
证明
由\(a==b(\mod m)\) 则\(m|(a-b)\) 令\(k=(a-b)/m\) 即\(k*m=a-b\)等式两边同乘以\(c\),得\(c*k*m=(a-b)*c\)
因为\(m|c*k*m\),所以\(m|(a-b)*c\) 即\(a*c==b*c(\mod m)\)
由\(a==b(\mod m)\) 则\(m|(a-b)\) 令\(k_1=(a-b)/m\) 即\(k_1*m=a-b\)
同理令\(k_2=(c-d)/m\)即\(k_2*m=c-d\)
则\(a*c-b*d=k_1*m-k_2*m=m*(k_1-k_2)\)
又因为\(m|m(k_1-k_2)\),所以\(m|(a*c-b*d)\),即\(a*c==b*d(\mod m)\)
证毕
- 同幂性:若\(a==b(\mod m)\) 则\(a^n==b^n(\mod m)\)
证明就一句话带过,利用同乘性
6条性质归纳
-
自反性:$ a==a(\mod m) $
-
对称性:若\(a==b(\mod m)\) 则\(b==a(\mod m)\)
-
传递性:若\(a==b(\mod m),b==c(\mod m)\),则\(a==c(\mod m)\)
-
同加性: 若\(a==b(\mod m)\)则 \(a+c==b+c(\mod m)\)
-
同乘性: 若\(a==b(\mod m)\),则\(a*c==b*c(\mod m)\);若\(a==b(\mod m)\),若\(c==d(\mod m)\),则\(a*c==b*d(\mod m)\)
-
同幂性:若\(a==b(\mod m)\) 则\(a^n==b^n(\mod m)\)
推论
- \(a*b \mod k=(a \mod k)*(b \ mod k) mod k\)
- 证明
因为\(a==(a \mod k)(\mod k)\)且\(b==(b \mod k)(\mod k)\)
所以\(a*b==(a \mod k) * (b \mod k)( \mod k)\)
证毕
2.若\(a \mod p=x,a \mod q=x,p,q\)互质,则 \(a \mod p*q=x\)
- 证明
因为\(a \mod p=x,a \mod q=x,p,q互质\)
所以存在\(s,t\)令\(a=s*p+x,a=t*q+x\)
所以\(s*q=t*q\)
则存在整数r,令\(s=r*q\)
所以\(a=r*p*q+x\)
所以\(a \mod p*q=x\)
证毕
同余不满足同除性 即不满足\(a div n== b div n(\mod m)\)
概念补充
剩余类
剩余类亦称同余类
定义:对模n同余的所有整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类
根据定义,转化为数学语言:
设\(m\)是给定的正整数,以\(C_r(r=0,1,2,....,m-1)\)表示所有形如qm+r的整数组成的集合,其中\(q=0,±1,±2,.....\)则\(C_0,C_1,C_2,C_3,....,C_{m-1}\)称为模 \(m\)的剩余类。
完全剩余系
定义:在模m的剩余类中各取一个元素,则这m个数就构成了模m的一个完全剩余系
常用完全剩余系,任取m个整数\(0,1,2,3,.....,m-1\),则构成一个完全剩余系{\(0,1,2,3,.........,m-1\)}
性质:若\(\forall r \in Z^{+}\),{\(r_0,r_1,r_2,.....r_n\)}为完全同余系的充要条件为这n个数取模于n的余数互不相等$
(这个稍微理解透定义,就不证自明)
参考文献
信息学奥赛之数学一本通
在此鸣谢作者
后记
大部分由笔者证明,少部分是原书证明,如有错误证明烦请指出,感激不尽
学好整除同余基本性质,为后期学习奠定基础