整除 及 同余

合集 - 数论(5)

1.整除 及 同余2021-08-10

2.逆元2021-08-233.有理数取余[模板]2021-08-234.素数判断及相关定理2021-08-185.数论分块01-31

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整除

设$a$为非零整数，$b$是整数

若存在一个整数q，使得b=a*q，则称之为b可以被a整除 记作$a|b$

其中$b$为$a$的倍数，$a$为$b$的约数（因子）

举例 ：$2|4$，$5|10$

整除性质及证明

1. 如果$a|b$且$b|c$,则$a|c$

• 证明
  因为$a|b$，所以设$k_1=b/a$，同理设$k_2=c/b$

  所以$b=a*k_1,c=b*k_2=a*k_1*k_2$

  则$a|c=a|a*k_1*k_2=k_1*k_2$

  又因为$k_1和k_2$为整数，所以$a|c$
  证毕

2. 如果$a|b$且$a|c$,任取$x,y\in Z$ 则$a|(b*x+c*y)$

• 证明
  因为$a|b$，所以设$k_1=b/a$，同理设$k_2=c/a$

  所以$b=a*k_1,c=a*k_2$

  则$a|(b*x+c*y)=a|(a*k_1*x+a*k_2*y)=a|a*(k_1*x+k_2*y)=k_1*x+k_2*y$

  又因为$k_1，k_2，x，y$都为整数，所以$k_1*x+k_2*y$即为整数

  综上$a|(b*x+c*y)$
  证毕

3. 设$m≠0$，则$a|b$可推出$(m*a) | (m*b)$

• 证明

  因为$a|b$，所以设$k_1=b/a$，即$b=k_1*a$

  则$（m*a）|(m*b)=(m*a)|(m*k_1*a)=k_1$

  又因为$k_1$为整数，所以$(m*a)|(m*b)$
  证毕

4. $\forall x,y \in Z$ 满足此式 $a*x+b*y=1$，又当 $a|n$且$b|n$，则$(a*b)|n$

• 证明

  由性质3可得：$a|n\rightarrow (a*b)|(n*b)，b|n\rightarrow(a*b)|(a*n)$
  由性质2可得：$（a*b)|(a*n*x+b*n*y)$

  又因为 $(a*n*x+b*n*y)=n*(a*x+b*y)=n$

  所以 $(a*b)|n$
  证毕

推论：$\forall x,y \in Z$满足此式 $a*x+b*y=m(m\in Z)$，易证$(a*b)|n*m$

5. 若$b=q*d+c$ 则$d|b \leftrightarrow d|c 即（d|b的充分必要条件为d|c）$

• 证明（反证法）
  因为$d|b$，所以设$k_1=b/d$，同理设$k_2=c/d$

  则$b=q*d+c \rightarrow d*k_1=q*d+d*k_2$ $\rightarrow$ $k_1=q+k_2$

  当$k_2$为整数时，$k_1$为整数；当$k_1$为整数时，$k_2$为正整数

  综上，若$b=q*d+c$ 则$d|b \leftrightarrow d|c$
  证毕

5条性质归纳

1. 如果$a|b$且$b|c$,则$a|c$

2. 如果$a|b$且$a|c$,任取$x,y\in Z$ 则$a|(b*x+c*y)$

3. 设$m≠0$，则$a|b$可推出$(m*a) | (m*b)$

4. $\forall x,y \in Z$ 满足此式 $a*x+b*y=1$，又当 $a|n$且$b|n$，则$(a*b)|n$
   推论：$\forall x,y \in Z$满足此式 $a*x+b*y=m(m\in Z)$，则$(a*b)|n*m$

5. 若$b=q*d+c$ 则$d|b \leftrightarrow d|c 即（d|b的充分必要条件为d|c）$

同余

若$a,b$为两个整数，且$m|(a-b)$，则 $a==b (\mod m)$
设$k=(a-b)/m$ 则$a-b=m*k(k \in Z)$

举例 $7 \mod 3= 1 \mod 3$此时$k为2$

$\forall a,b,c \in Z，\forall m,n \in N$，$m为模$

同余性质及证明

1. 自反性：$a\equiv a(\mod m)$
   证明略

2. 对称性：若$a\equiv b(\mod m)$ 则$b\equiv a(\mod m)$

3. 传递性：若$a\equiv b(\mod m)，b\equiv c(\mod m)$，则$a\equiv c(\mod m)$

• 证明
  因为$a\equiv b(\mod m)，b\equiv c(\mod m)$

  所以若$m|(a-b)，m|(c-b)$

  根据整除性质，如果$a|b$且$a|c$,任取$x,y\in Z$ 则$a|(b*x+c*y)$

  此时x取-1，y取1，$m|((a-b)*-1+(c-b)*1) \rightarrow m|(c-b)$ $\rightarrow$ $c==b(\mod m)$
  证毕

4. 同加性: 若$a \equiv b(\mod m)$则 $a+c \equiv b+c(\mod m)$

• 证明
  由$a \equiv b(\mod m)$则$m|(a-b)$

  $a-b$加上$0=c-c$

  则$m|(a-b+c-c)$整理得$m|((a+c)-(b+c))$

  所以$a+c \equiv b+c(\mod m)$
  证毕

5. 同乘性: 若$a \equiv b(\mod m)$，则$a*c \equiv b*c(\mod m)$；若$a \equiv b(\mod m)$，若$c==d(\mod m)$，则$a*c \equiv b*d(\mod m)$

• 证明
  由$a \equiv b(\mod m)$ 则$m|(a-b)$ 令$k=(a-b)/m$ 即$k*m=a-b$

  等式两边同乘以$c$，得$c*k*m=(a-b)*c$

  因为$m|c*k*m$,所以$m|(a-b)*c$ 即$a*c==b*c(\mod m)$

  由$a \equiv b(\mod m)$ 则$m|(a-b)$ 令$k_1=(a-b)/m$ 即$k_1*m=a-b$

  同理令$k_2=(c-d)/m$即$k_2*m=c-d$

  则$a*c-b*d=k_1*m-k_2*m=m*(k_1-k_2)$

  又因为$m|m(k_1-k_2)$，所以$m|(a*c-b*d)$，即$a*c\equiv b*d(\mod m)$
  证毕

6. 同幂性：若$a\equiv b(\mod m)$ 则$a^n \equiv b^n(\mod m)$
   证明就一句话带过，利用同乘性

6条性质归纳

1. 自反性：$a \equiv a(\pmod m)$

2. 对称性：若$a \equiv b \pmod m$ 则$b==a \pmod m$

3. 传递性：若$a \equiv b \pmod m，b\equiv c \pmod m$，则$a\equiv c \pmod m$

4. 同加性: 若$a \equiv b \pmod m$则 $a+c\equiv b+c\pmod m$

5. 同乘性: 若$a \equiv b \pmod m$，则$a*c \equiv b*c \pmod m$；若$a\equiv b \pmod m$，若$c\equiv d\pmod m$，则$a*c \equiv b*d\pmod m$

6. 同幂性：若$a \equiv b(\mod m)$ 则$a^n \equiv b^n \pmod m$

推论

1. $a*b \mod k=(a \mod k)*(b \ mod k) mod k$

• 证明
  因为$a \equiv (a \mod k)(\mod k)$且$b\equiv (b \mod k)(\mod k)$

  所以$a*b \equiv (a \mod k) * (b \mod k)( \mod k)$

  证毕

2. 若$a \mod p=x，a \mod q=x，p，q$互质，则 $a \mod p*q=x$

• 证明
  因为$a \mod p=x，a \mod q=x，p，q互质$，所以存在$s,t$令$a=s*p+x,a=t*q+x$
  所以$s*q=t*q$
  则存在整数r，令$s=r*q$
  所以$a=r*p*q+x$
  所以$a \mod p*q=x$
  证毕

同余不满足同除性 即不满足$a \div n== b \div n(\mod m)$

概念补充

剩余类

剩余类亦称同余类
定义：对模n同余的所有整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类
根据定义，转化为数学语言：
设$m$是给定的正整数，以$C_r(r=0,1,2,....,m-1)$表示所有形如qm+r的整数组成的集合，其中$q=0,±1,±2,.....$则$C_0,C_1,C_2,C_3,....,C_{m-1}$称为模 $m$的剩余类。

完全剩余系

定义：在模m的剩余类中各取一个元素，则这m个数就构成了模m的一个完全剩余系
常用完全剩余系,任取m个整数$0，1，2，3，.....,m-1$，则构成一个完全剩余系{$0，1，2，3，.........,m-1$}

性质：若$\forall r \in Z^{+}$，{$r_0,r_1,r_2,.....r_n$}为完全同余系的充要条件为这n个数取模于n的余数互不相等$
（这个稍微理解透定义，就不证自明）

参考文献

信息学奥赛之数学一本通

在此鸣谢作者

后记

大部分由笔者证明，少部分是原书证明，如有错误证明烦请指出，感激不尽

学好整除同余基本性质，为后期学习奠定基础