停课日志 part1 2024.10.21-10.25

10.21

次短路

• 1.dijkstra用两个dist数组记录最短路和次短路 适用条件：严格/非严格 非简单
• 2.dijkstra跑出最短路，保存路径，枚举删除路径上每一条边，跑最短路记录最大值。 适用条件：非严格 简单
• 3.从起点s和终点t分别跑出最短路d1,d2,枚举图中每一条边<u,v>,计算（d1[u]+d2[v]+边权）的次大值。
  适用条件：严格/非严格 非简单

例题：
1.P1491 集合位置 (非严格|简单）
2.P2865 Roadblocks G （严格|非简单)

10.22

k短路

• 1.A*算法：从终点t跑出最短路h(i),跑bfs，队列元素按照h(i)+g(i)从小到大排序（g（i）指s到i的实际路径长度）。
  适用条件：非严格 非简单 时间复杂度：O(nklogn)
  改进：可用数组v存下路径，判断新节点是否已在路径上，即可实现求简单路径。（时间复杂度难以保证）
• 2.可持久化可并堆
  不会

例题：[SDOI2010] 魔法猪学院
[SCOI2007] k短路

10.23-10.24

字符串哈希
进制数：131 13331 9973

一.一维哈希
1.自然溢出法：用ULL类型存储hash值。（速度快，但易被卡） 2.多模哈希：用多个模数分别去模，判断时需hash值皆相等。
常用模数：1e9+21 1e9+223（速度慢，很难被卡）
3.大质数哈希：用1e18级别的模数取模
常用模数：1e18+31
字符串哈希
POJ3974 Palindrome (哈希+二分)
二.二维哈希
方法：先每一行进行hash，再将hash后的值在列方向上看成新的字符串进行一遍hash，最后询问时用二维前缀和公式解决。(两边hash要用不同进制数）
例题：POJ3690星座（极其恶心的一道毒瘤题，卡常卡空间）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef unsigned long long ull;

int n, m, t, p, q, cnt = 1;
ull hs[1005][1005];
ull hst[55][55];
int P1 = 131, P2 = 13331;
ull p1[1005], p2[1005];
multiset<ull>app;

int main()
{
    p1[0] = p2[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 1001; ++i)
        p1[i] = p1[i-1]*P1;
    for(int i = 1; i <= 1001; ++i)
        p2[i] = p2[i-1]*P2;
    while(scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &t, &p, &q))
    {
        app.clear();
        if(n == 0 && m == 0 && t == 0 && p == 0 && q == 0)
            break;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= m; ++j)
            {
                char ch = getchar();
                while(ch==' '||ch=='\n')ch=getchar();
                hs[i][j] = hs[i][j-1]*P1+(int)ch;
            }
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= m; ++j)
                hs[i][j] += hs[i-1][j]*P2;
        for(int i = 1; i <= t; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= p; ++j)
                for(int k = 1; k <= q; ++k)
                {
                    char ch = getchar();
                    while(ch==' '||ch=='\n')ch=getchar();
                    hst[j][k] = hst[j][k-1]*P1+(int)ch;
                }
            for(int j = 1; j <= p; ++j)
                for(int k = 1; k <= q; ++k)
                    hst[j][k] += hst[j-1][k]*P2;
            app.insert(hst[p][q]);
        }
        for(int i = 1; i <= n-p+1; ++i)
                for(int j = 1; j <= m-q+1; ++j)
                {
                    ull tmp = hs[i+p-1][j+q-1]-hs[i-1][j+q-1]*p2[p]-hs[i+p-1][j-1]*p1[q]+hs[i-1][j-1]*p1[q]*p2[p];
                    app.erase(tmp);
                }
        printf("Case %d: %d\n", cnt, t-(int)app.size());
        cnt++;
    }
    return 0;
}

10.25

树状数组
用途：维护序列的前缀和。
实现方法：对于一个长为n的序列，使c[i]存储序列区间[i-lowbit(i)+1,i]中所有数的和。
时间复杂度：O(nlogn)

问题1：P3374 【模板】树状数组 1
单点修改，将数组c中每个包含a[i]的元素修改。
区间查询，求出r和l-1的前缀和取差。
问题2：P3368 【模板】树状数组 2
将c数组初始赋为0，c的前缀和代表第i个位置上加的数的和。
区间修改，将c[l]加上k，c[r+1]减去k。
单点查询，输出a[i]+c[i]的前缀和。
问题3：P3372 【模板】线段树 1
数组c[i]的前缀和代表i增加的量，则1-x整体增加量
为： sigma(i=1-x)sigma(j=1-i)c[j]。
可将上式改写为：(x+1)×sigma(i=1-x)c[i]-sigma(i=1-x)i×c[i]。 我们用树状数组维护c[i]和c[i]*i的前缀和即可解决。
问题4：求逆序对个数
我们用数组c[i]记录值i出现的次数，用树状数组维护c的前缀和。倒序扫描序列，查询值1——a[i]-1的出现总次数，将其加入答案中。再将c[a[i]]加上1。
例题：P10589 楼兰图腾

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