生成函数（蛄）

1.本质

生成函数的本质——处理排列组合问题的有利工具，而不是简单的\(\frac{1}{1-x}\)的指标代换

2.定义

在数学中，某个序列(an)n∈N 的母函数（又称生成函数，英语：Generating function）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

讲的通俗一点，对于某个序列$$a_0,a_1,…,a_n$$，我想找一个函数来表示它，假设是$$G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2…a_nxn$$。这时候函数第i项的系数就表示了序列中的第i个元素。同时我们也可以看到，函数中的自变量x好像并没有什么意义，他的取值并不影响序列的表示，因此我们称这种函数为形式幂级数

3.干什么用捏

明显G(x)是多项式吧，多项式能干的事就多了，加减乘除，exp，.....

4.普通生成函数

有三种物品，分别有3,2,3个，问拿出4个进行组合 ({1123},{3211}算一种)的方案数是多少
先构造函数1，对每个物品构造一个多项式

\(G1(x) = 1 + x + x^2 + x^3\)

\(G_2(x) = 1 + x + x^2\)

\(G_3(x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3\)

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

然后这时候我们就很懵了，然后嘞，这玩意儿能干啥，我们可以对\(\frac{1]{1-x}\)变形搞一搞，
同时我们还知道\(\frac{1]{1-x}\)对应的第i项系数为1，那这时候神奇的操作来了，我们可以将构造出来的函数化成类似于\(\frac{1]{1-x}\)的一系列柿子，进而求得了通解。

通项公式

1.广义二项式定理

\(\frac{1}{(1-x)^n} = \sum_{k=0}^{\infty}C_{n+k-1}^{k-1}x^k\)

举个栗子

求斐波那契数列的通项公式：

构造函数\(A(x) = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 +.....\)

\[A(x) = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 +..... \]

\[xA(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 \]

\[x^2A(X) = x^2 + x^3 + 2x^4 + 4x^5+5x^6 \]

然后就有了一个小方程：

\[A - xA - x^2A = 1 \]

\[A = \frac{1}{1-x-x^2} \]

\[\frac{1}{1-x-x^2}\ 是个二次方程 \]

配方一下
\(1-x-x^2 = (1-\phi_1x)(1-\phi_2x)\)

再解个方程

\(a(1−ϕ_2x)+b(1−ϕ_1x)=1\)

\[a = \frac{1}{\sqrt{5}} \phi_1, b = -\frac{1}{\sqrt{5}} \phi_2\ \]

带回原始柿子：

\[A_n = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{{1+\sqrt{5}}}{2})-(\frac{{1-\sqrt{5}}}{2})) \]