Math

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1. 积性函数

定义：若函数\(f(n)\)满足\(f(1) = 1\)&&\({\forall}{x,y}{\in}{N^{*}},gcd(x,y)=1\)都有\(f(xy)=f(x)*f(y)\)则\(f(n)\)为积性函数

​ 若函数\(f(n)\)满足\(f(1)=1\)&&\({\forall}{x,y}{\in}{N^{*}}\)都有\(f(x,y)=f(x)*f(y)\)则\(f(n)\)为完全积性函数

性质：

​ 若\(f(x),g(x)\)均为积性函数那么下面也为积性函数

\[ h(x) = f(x^p)\\ h(x) = f^P(x)\\ h(x) = f(x)*g(x)\\ h(x) = {\sum}\limits_{d\mid x}{f(d)g(\frac{x}{d})} \]

例子：

欧拉函数，莫比乌斯函数

2.素数

暴力判断素数；

我们很明显可以发现：如果\(x\)是\(a\)的约数，那么\(\frac{a}{x}\)也是\(a\)的约数

inline bool init(int x)
{
    if(x < 2) return 0;
	for(int i = 1 ; i * i <= x ; i ++ )
    {
        if(x % i == 0) return false ;
    }
    return true ;
}

3.gcd，lcm

1. STL :

int gcd =  __gcd(x,y)

2. 欧几里得

inline int gcd(int a , int b)
{
	if(b == 0) return a ;
	return (b , a % b) ;
}
inline int lcm(int a , int b)
{
	1. return (a * b) / __gcd(a,b) ;
	2. return (a * b) / gcd(a,b) ;

4.扩展欧几里得算法

\(求ax+by=gcd(a,b)\)的一组可行解

设

\[ax_1 + by_1 = gcd(a,b) \\ bx_2 +(a\ mod\ b)y_2 = gcd(a,b)\\ 显然gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\\ a\ mod\ b = a - \left \lfloor {\frac{a}{b}} \right \rfloor *b \\ \text{可以得到} \\ ax_1+by_1=bx_2+(a- \left \lfloor {\frac{a}{b}} \right \rfloor *b)y_2\\ ax_1+by_1=bx_2+ay_2-by_2 {\left \lfloor {\frac{a}{b}} \right \rfloor } \\ ax_1+by_1=b(x_2-y_2\left \lfloor {\frac{a}{b}} \right \rfloor)+ay_2\\ x_1 = y_2 , y_2 = x_2-y_2{\left \lfloor {\frac{a}{b}} \right \rfloor} \]

inline void exgcd(int a , int b ,int &x , int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1 ;
        y = 0 ;
        return ;
    }
    exgcd(b , a % b , y , x) ;
    y = y - (a / b) * x ;
}

5.筛法

1. 埃氏筛：我们考虑一个数的倍数肯定也是素数就有了埃氏筛：

   inline void init(int n)
   {
   	int p = 0 ;
   	for(int i = 0 ; i <= n ; i ++ ) is_prime[i] = true ;
       is_prime[0] = is_prime[1] = 0 ;
       for(int i = 2 ; i <= n ; i ++ )
       {
           if(is_prime[i])
           {
               prime[p++] = i ;
               if(i * i <= n)
               {
                   for(int j = i * i ; j <= n ; j += i)
                   {
                       is_prime[j] = 0 ;
                   }
               }
           }
       }
       return p ;
   }
   

   2.线性筛(欧拉筛法）

   inline void init(int n)
   {
       for(int i = 2 ; i <= n ; i ++ )
       {
           if(use[i] == 0) prime[++cnt] = i ;
           for(int j = 1 ; j <= cnt && prime[j] * i <= n ; j ++ )
           {
               use[i*prime[j]] = 1 ;
               if (i % prime[j] == 0) break ;
           }
       }
   }
   

   3.筛法求欧拉函数

   
    inline void init(int n)
    {
        phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            if(!use[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
            for(int j=1;j<=cnt;++j)
            {
                if(prime[j]*i>n) break;
                use[prime[j]*i]=1;
                if(i%prime[j]==0) {
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                phi[i*prime[j]]=phi[prime[j]]*phi[i];
            }
        }
    }
   

2. 筛法求莫比乌斯函数

   inline void init(int n)
   {
   	mo[1] = 1 ;
   	for(int i = 2 ; i <= n ; i ++ )
   	{
   		if(use[i] == false) prime[++cnt] = i , mo[i] = -1 ;
           for(int j = 1 ; j <= cnt && prime[j] * i <= n ; i ++ )
           {
               use[i*prime[j]] = true ;
               if(i % prime[j]) break ;
               mo[i*prime[j]] = - mo[i];
           }
   	}
   }