拉格朗日乘子法

1 拉格朗日乘子法基本概念

拉格朗日乘子法是在约束条件$g(x_1,x_2,...)=0$下，计算函数$f(x_1,x_2,...)$极值的方法。

以二元函数为例，约束条件为$g(x,y)=0$，求函数$f(x,y)$的极值，定义一个新的函数$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$，求此函数的极值。

极值的第一个条件是，函数的偏导为0，即有：$\frac{\partial F}{\partial x}=0$，$\frac{\partial F}{\partial y}=0$，$\frac{\partial F}{\partial \lambda}=0$，求出$x、y、\lambda$的值后，即可求值函数的极值。

2 约束条件定义

在有约束条件下，求函数极值要表示为以下形式：

$$\begin{cases}
minf(x)\\
s.t.\ g_i(x)<0,i=1,2,...,q\\
h_j(x)=0,j=q+1,q+2,...,m\\
x\in D
\end{cases}$$

其中$f(x$为目标函数，$g(x)$为不等式约束，$h(x)$为等式约束。

若$f(x),g(x),h(x)$均为线性函数，则该问题为线性优化问题，若其中一个为非线性，则称为非线性优化问题。

若$f(x)$为二次函数，约束全为线性函数，则称为二次优化问题。

2.1 等式约束条件

在等式约束条件下，目标函数取得极小值时，目标函数的梯度与等式约束条件的梯度相等，有：

$$\nabla_Xf(X^*)=\mu\nabla_Xh(X^*)$$

同时，满足$h(x)=0$,即可构造拉格朗日函数$L(X,\mu)=f(X)+\mu h(X)$。

求函数的极值转化为 ：

$$
\nabla_XL(X^*,\mu^*)=0\\
\nabla_\mu L(X^*,\mu^*)=0
$$

此条件是凸优化的解，如果是非凸函数，则还要加一个条件：

$y^t(\nabla_{xx}^2L(x^*,\mu^*))\ge 0 \ \forall y\ s.t.\ \nabla_xh(X^*)^ty=0$，此条件是一个正定条件。

2.2 不等式约束条件

等式$h(x)=0$在平面上画一条等高线，而不等式$g(x)\ge 0$在在平面上圈出一块区域，称为可行域。

函数极值与可行域的关系有两种，一种是极值在可行域范围内，另一种是极值在可行域范围外。

 2.2.1 极值点在可行域内

这种情况下，不等式约束不起作用，$f(x)$的极值就是新函数$L(X,\mu)$的极值。

2.2.2 极值点在可行域外

这种情况下，不等式约束是有效的，$f(x)$的极值不再是新函数$L(X,\mu)$的极值，要考虑$f(x)$，在可行域内的极值。

这时$f(x)$的梯度与$g(x)$的负梯度相同，如图所示。

这时有$-\nabla_xf(x)=\lambda\nabla_xg(x)\quad and\quad \lambda\gt 0$

3 KKT条件

上述过程中，不等式约束条件下的凸函数极值三个条件：梯度为0、$\lambda\gt 0$、$\lambda^*g(x^*)=0$构成了KKT三个条件。

$$\begin{cases}
1.\ \nabla_xL(x^*,\lambda^*)=0 \qquad 梯度为0\\
2.\ \lambda^*\ge0 \qquad\qquad \lambda\gt 0\\
3.\ \lambda^*g(x^*)=0 \qquad 在g(x)=0（切线）处取得极值，极值在约束函数的边界
\end{cases}$$

在非凸函数时，需要增加其他额外的条件。

 

参考了博客园的一篇博客。