一些数论的板子
1.线性筛逆元
1 for(ll i=2;i<=n;i++) 2 inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
2.快速乘
1 return ((a*b-(ll)(long double)a/p*b+1e-8)*p+p)%p;
3.excrt
1 namespace excrt{ 2 ll ans=0,M=1; 3 int insert(ll A,ll B) 4 { 5 ll a=A,b=B,c=(a-ans%b+b)%b,x,y; 6 ll g=exgcd(M,b,x,y); 7 ll bg=b/g; 8 //if(c%g!=0) return -1; 9 x=qadd(x,c/g,bg); 10 ans+=x*M,M*=bg,ans=(ans%M+M)%M; 11 return 1; 12 } 13 };
4.exlucas
1 namespace exlucas{ 2 ll ans=0,M=1; 3 ll son[10],pw[10]; 4 int num; 5 int excrt_ins(ll A,ll B) 6 { 7 ll a=A,b=B,c=(a-ans%b+b)%b,x,y; 8 ll g=exgcd(M,b,x,y);ll bg=b/g; 9 if(c%g!=0) return -1; 10 x=qmul(x,c/g,bg); 11 ans+=x*M,M*=bg,ans=(ans%M+M)%M; 12 return 1; 13 } 14 ll get_mul(ll n,ll p,ll &sum,const ll &mo,int type) 15 { 16 if(n==0) return 1; 17 ll ans=1; 18 for(int i=2;i<=min(n,mo);i++) 19 if(i%p) ans=ans*i%mo; 20 ans=qpow(ans,n/mo,mo); 21 for(int i=2;i<=n%mo;i++) 22 if(i%p) ans=ans*i%mo; 23 sum+=1ll*(n/p)*type; 24 return ans*get_mul(n/p,p,sum,mo,type)%mo; 25 } 26 ll get_C(ll n,ll m,ll p,const ll &mo) 27 { 28 if(m>n) return 0; 29 ll sum=0;ll y; 30 ll nn=get_mul(n,p,sum,mo,1); 31 ll mm=get_mul(m,p,sum,mo,-1); 32 ll nm=get_mul(n-m,p,sum,mo,-1); 33 exgcd(mm,mo,mm,y); 34 mm=(mm%mo+mo)%mo; 35 exgcd(nm,mo,nm,y); 36 nm=(nm%mo+mo)%mo; 37 return nn*mm%mo*nm%mo*qpow(p,sum,mo)%mo; 38 } 39 ll C(ll n,ll m,const ll &mo) 40 { 41 if(m>n) return 0; 42 ll ret=0; 43 for(int i=0;i<num;i++){ 44 ll val=get_C(n,m,son[i],pw[i]); 45 excrt_ins(val,pw[i]); 46 } 47 ret=ans,M=1,ans=0; 48 return ret; 49 } 50 };
5.杜教筛
1 // luogu-judger-enable-o2 2 #pragma GCC optimize(2) 3 #pragma GCC optimize(3) 4 #pragma GCC optimize"Ofast" 5 #include <cstdio> 6 #include <cstring> 7 #include <algorithm> 8 #define NN 3001000 9 #define MM 3000100 10 #define maxn 3000000 11 #define ll long long 12 #define uint unsigned int 13 #define mod 1000000007 14 using namespace std; 15 16 int N,K,l,r,sq,len; 17 namespace S1{ 18 int pr[NN],use[NN],mu[NN],phi[NN],smu[NN],cnt; 19 ll sphi[NN]; 20 void Pre() 21 { 22 mu[1]=smu[1]=1,phi[1]=sphi[1]=1; 23 for(int i=2;i<=maxn;i++) 24 { 25 if(!use[i]) pr[++cnt]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1; 26 smu[i]=smu[i-1]+mu[i],sphi[i]=sphi[i-1]+phi[i]; 27 for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=maxn;j++){ 28 use[i*pr[j]]=1; 29 if(i%pr[j]==0){ 30 mu[i*pr[j]]=0; 31 phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j]; 32 break; 33 }else{ 34 mu[i*pr[j]]=-mu[i]; 35 phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]]; 36 } 37 } 38 } 39 } 40 }; 41 struct Chain{ 42 #define maxx 3000000 43 int nxt[MM],head[MM],to[MM],cte; 44 ll val[MM]; 45 void ae(int u,int v,ll w){ 46 cte++;to[cte]=v,val[cte]=w; 47 nxt[cte]=head[u],head[u]=cte; 48 } 49 ll find(int U){ 50 int u=U%maxx; 51 for(int j=head[u];j;j=nxt[j]){ 52 ll v=to[j]; 53 if(v==U) return val[j]; 54 }return -1; 55 } 56 void ins(int U,ll w){ 57 int u=U%maxx; 58 ae(u,U,w); 59 } 60 #undef maxx 61 }mu,phi; 62 ll query_mu(int n) 63 { 64 if(n<=maxn) return S1::smu[n]; 65 ll ans; 66 ans=mu.find(n); 67 if(ans!=-1) return ans; 68 ans=1; 69 for(int i=2,la;i<=n;i=la+1){ 70 la=n/(n/i); 71 ans-=1ll*(la-i+1)*query_mu(n/i); 72 }mu.ins(n,ans); 73 return ans; 74 } 75 ll query_phi(int n) 76 { 77 if(n<=maxn) return S1::sphi[n]; 78 ll ans; 79 ans=phi.find(n); 80 if(ans!=-1) return ans; 81 ans=1ll*n*(n+1)/2; 82 for(int i=2,la;i<=n;i=la+1){ 83 la=1ll*n/(n/i); 84 ans-=1ll*(la-i+1)*query_phi(n/i); 85 }phi.ins(n,ans); 86 return ans; 87 } 88 89 int main() 90 { 91 //freopen("t1.in","r",stdin); 92 int T;ll n; 93 S1::Pre(); 94 scanf("%d",&T); 95 while(T--){ 96 scanf("%lld",&n); 97 ll ans_mu=query_mu(n); 98 ll ans_phi=query_phi(n); 99 printf("%lld %lld\n",ans_phi,ans_mu); 100 } 101 return 0; 102 }
6.矩阵求逆
在当前矩阵右侧补上一个等大的单位矩阵，然后跑高斯消元，右侧剩下的矩阵就是逆矩阵
高斯消元的思想比较简单，每次把第$i$列中的某一行$j$上的数$a_{ji}$变成1，然后根据等式的性质，把第$j$行后面的元素都除以$a_{ji}$
然后再把这个等式带入到其他行中，设法把这些行第$i$列上的数消去，变成0，还要对右面的元素也进行修改，保证等式成立
如果任何一行的第$i$列都是0，说明该方程无解，即逆矩阵不存在
1 struct M{ 2 ll f[NN][NN*2]; 3 int Gauss() 4 { 5 for(int i=1;i<=n;i++) 6 f[i][i+n]=1; 7 for(int i=1;i<=n;i++) 8 { 9 for(int j=i;j<=n;j++) 10 if(f[j][i]){ 11 for(int k=1;k<=nn;k++) 12 swap(f[i][k],f[j][k]); 13 break; 14 } 15 if(!f[i][i]) {return 0;} 16 ll inv,y;exgcd(f[i][i],mod,inv,y); 17 inv=(inv%mod+mod)%mod; 18 for(int j=i;j<=nn;j++) 19 f[i][j]=f[i][j]*inv%mod; 20 for(int j=1;j<=n;j++) 21 if(j!=i){ 22 y=f[j][i]; 23 for(int k=i;k<=nn;k++) 24 f[j][k]=(f[j][k]-y*f[i][k]%mod+mod)%mod; 25 } 26 }return 1; 27 } 28 }m;
