一些乱七八糟的数学问题

1.错位排序：

错位排序数列：1,2,9,44,265......

给出一个1~n的排列，现在把它打乱，让每一位上的数和它的标号都不相同，求所有的打乱方案数

考虑1~n的全排列的数量，是n!

那么，当某一位上的数和它的标号相同(其他位是否相同先不考虑)的情况，那么打乱方案数是(n-1)!

可以看错把这一位去掉，剩下的数任意排列的方案数，一共n位，总数量就是C_{n}^{1}*(n-1)!

发现会多减掉有两位都标号相同的情况，要加回来C_{n}^{2}*(n-2)!

发现是一个容斥原理，继续推就行了

公式是\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}(n-i)!*(-1)^{i-1}

 

 

2.卡特兰数

卡特兰数列：1,2,5,14......

矩阵递推式长这样f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]

形成的矩阵是这样的

1

1  1

1  2  2

1  3  5  5 

1  4  9  14 14

1  5  14 28 42 42 

......

很少见的递推比通项还复杂的数列

源公式：F[i]=F[0]*F[i-1]+F[1]*F[i-2]...=\sum_{i=0}^{n/2}F[i]*F[n-i]

递推公式：F[i]=(4n-2)/(n+1)*F[i-1]

通项公式：F[i]=C_{2n}^{n}/(n+1)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}

具体推导挺复杂的

一些题目，比如求元素出栈方案数，多边形划分三角形等等

 

 

3.数论公式

约数个数和$d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1]$

欧拉函数$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\varphi (i,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{\varphi (i)\varphi (j)gcd(i,j)}{\varphi (gcd(i,j))}$

平方和公式$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\sum_{i=1}^{n}i^{2}$

立方和公式$(\frac{n(n+1)}{2})^{2}=\sum_{i=1}^{n}i^{3}$

 

posted @ 2018-10-05 11:28  guapisolo  阅读(189)  评论(0)  编辑  收藏  举报