2023-李林四套卷-数学一

2023-李林4-1

T₅ 行变换，行向量组等价；列变换，列向量组等价

T₁₁ \(\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,{\rm d}x=\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+{\rm C}\)：前面有平方，后面没有

T₁₂ 梯度场有源 \(\nabla\cdot(\nabla u)=(\nabla\cdot\nabla) u=(\dfrac{\part^2}{\part x^2}+\dfrac{\part^2}{\part y^2}+\dfrac{\part^2}{\part z^2})u\)，无旋 \(\nabla\times(\nabla u)=(\nabla\times\nabla) u=0\)

T₁₅ 注意这里是 \(6\) 阶行列式（）

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T₃ \(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\ln\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n^p}\right]\) 条件收敛，注意要展开到平方，展开后的两个级数，一个正项、一个交错，需要分别讨论

T₆ \(A\) 的 \(n\) 个特征向量两两正交，当仅当 \(A\) 是对称矩阵：\(A=Q\Lambda Q^T\)

T₉ \(X\sim N(0,\,\sigma^2)\)，则 \(E|X|=\sqrt{\dfrac{2}\pi}\sigma,\,D|X|=(1-\dfrac2\pi)\sigma^2\)

T₁₀ 列维-林德伯格中心极限定理的大题格式：\(\lim P\{\cdots\}=\Phi(x)\)

T₁₉ 注意本题可以用高斯，因为不需要对 \(f(x^2+y^2)\) 求导

T₂₀ 第二小问 \(f(x)\) 和 \(f^{''}(x)\) 都应该是恒正或恒负的，泰勒展开起码能证到 \(\geqslant4M\)。不过这里通过对 \(f^{'}(x)\) 用拉格朗日求 \(|f^{'}(0)|\) 和 \(|f^{'}(1)|\) 的方法也要掌握

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T₆ 同解问题：\(\gamma=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=x_1\beta_1+x_2\beta_2+x_3\beta_3\)，即 \(x_1(\beta_1-\alpha_1)+x_2(\beta_2-\alpha_3)+x_3(\beta_3-\alpha_3)=0\)，解出 \(x\) 后再求 \(\gamma\)

T₁₄ 换元把球心平移到原点即可，\(|J|=1\)

T₁₅ 这种题目一般都是证明 \(AB=BA\)，本题利用前面的条件 \(A(A-2B)=(A-2B)A=E\) 即可

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T₄ \(\sum u_n^2\) 收敛，可用 \(|u_n|=\sqrt{u^2_n}\leqslant M\) 证明 \(\sum u_n^3,\,\sum u_nu_{n+1}\) 等绝对收敛

T₈ 韦恩图，各区域取值都应在 \([0,\,1]\) 之间

T₉ \(ES^2=DX\)，注意不是 \(D\overline{X}\)

T₂₀ 弦切不等式，两边都积分尝试一下，不过这道题特别的地方在于 \(f(x)\) 的 \(x\) 应视为常数，而 \(\int f(x)\,\mathrm{d}x\) 的 \(x\) 应视为另一个变量 \(t\)（当然本题也可以画图）