2021-李艳芳三套卷-数学一

2021-李艳芳3(1)-1

T₃ 非齐次微分方程的三个解 \(y_1,\,y_2,\,y_3\)，有条件 \(\dfrac{y_1-y_2}{y_1-y_3}\) 不为常数，即说明 \(y_1-y_2,\,y_1-y_3,\,y_2-y_3\) 两两线性无关

T₇ 实对称矩阵 \(A\) 各行元素之和为 \(0\)（或者矩阵 \(A\) 各行，各列元素之和为 \(0\)），则 \(A^*\) 所有元素均相等。另已知 \(A\) 特征值且 \(A\) 可对角化，即已知 \(A\sim\Lambda\)，那么 \(A^*\) 的特征值就是已知的，\(A^*\sim\Lambda^*\)

• 本题各特征值对应的特征向量正交，均可求，也可以采取硬算的方法，利用特征分解 \(A=\dfrac{\lambda_1}{||\alpha_1||^2}\alpha_1\alpha_1^T+\dfrac{\lambda_2}{||\alpha_2||^2}\alpha_2\alpha_2^T+\dfrac{\lambda_3}{||\alpha_3||^2}\alpha_3\alpha_3^T\)

T₁₄ 注意两个易错点：①正负号；② 椭圆 \(x^2+4y^2=1\) 在 \(y\) 轴上的半轴是 \(2\) 还是 \(\frac12\)；考试时应在草稿纸上醒目地标出来

T₁₅ \(\left|\begin{matrix}A&\alpha\\\beta^T&b\end{matrix}\right|=x,\,\left|\begin{matrix}A&\alpha\\\beta^T&c\end{matrix}\right|=y\)，处理方法就是 \(x=\left|\begin{matrix}A&\alpha+0\\\beta^T&c+b-c\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}A&\alpha\\\beta^T&c\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}A&0\\\beta^T&b-c\end{matrix}\right|=y+(b-c)|A|\)

• 如果已知 \(A\) 可逆，那么 \(\left|\begin{matrix}A&\alpha\\\beta^T&b\end{matrix}\right|\left|\begin{matrix}E&-A^{-1}\alpha\\0&1\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}A&0\\\beta^T&b-\beta^TA^{-1}\alpha\end{matrix}\right|\) 也可以处理，但本题不能这么做

T₁₈ 积分有周期，很常见了。我用的是 \(2k\pi\leqslant x<2k\pi+2\pi\)，后来发现周期没这么多，只要一个 \(\pi\) 就好了，画图观察

2021-李艳芳3(1)-2

T₃ \(\mathrm{d}(x\cos x)\) 拆成了两部分

T₄ 要会取特殊值，如令 \(f(x)\equiv0\)

T₁₆ 单位长度线段上随机取 \(n\) 个点，相邻两点距离期望都是 \(\dfrac1{n+1}\)，角度同理

T₁₈ 同样的证明出现在2022年方浩十套卷中，而第二问证明 \(\dfrac{n!!}{(n+1)!!}\) 趋向于 \(0\) 仿佛还有点不太会？肯定不考。。至于求 \(S(x)\) 考虑求导构造微分方程

T₂₁ 需要注意的是 \(A+E\) 和 \(A-4E\) 的逆阵不需要计算，只要利用 \(A^2-3A+2E=O\) 的条件即可

2021-李艳芳3(1)-3

T₁₀ \(EX=\mu,\,DX=\sigma^2\)，则 \(\displaystyle\dfrac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2\) 是 \(\sigma^2\) 的矩估计量（\(\displaystyle\sigma^2=EX^2-(EX)^2=\dfrac1n\sum_{i=1}^nX_i^2-\overline X^2=\dfrac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2\)）

T₁₁ 注意这种一般联系伯努利方程，将 \(y^2\mathrm{e}^x\) 移项即可

T₂₀ 证明 \(f(a+b)-f(b)<f(a)-f(0)\)，注意两边自变量之差都是 \(a\)，考虑利用中值定理，即证 \(af^{'}(\eta)<af^{'}(\xi)\)

T₂₁ 题目精髓在于 \(\alpha_i^TB\alpha_j=0(i\neq j)\)，而 \(B\) 正定，说明 \(\alpha_i^TB\alpha_i\neq0\)，对 \(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\) 依次左乘 \(\alpha_iB\) 即可