2016-2019-合工大超越卷-数学一

2016

2016超越卷-1

T₇ \(P(\overline{A}\overline{B})=P(AB)\Leftrightarrow P(A)+P(B)=1\)，这也是为什么通常会问该条件能否推出“\(A,\,B\) 对立”。当然概率是推不出事件关系的

T₁₂ 轮换对称：\(z=\dfrac{a\varphi(x)+b\varphi(y)}{\varphi(x)+\varphi(y)}\)，求 \(\displaystyle\iiint_V\,{\rm d}\upsilon\)，应当想到这是先一后二、在 \(D_{xy}\) 上轮换对称

T₁₄ 已知 \(EX\)，那么 \(E({\rm e}^X)\) 是多少？当然不能用 \({\rm e}^{EX}\)，这是参数估计里的：如 \(\hat{\theta}=\theta\)，问 \(EX={\rm e}^{\theta}\)，这里才是严格单调，直接代入

2016超越卷-2

T₆ \(r(A)=1\Leftrightarrow A=\alpha\beta^T;\,\lambda=0,\,0,\,\beta^T\alpha\)，\(\lambda=0\) 不可能是一重特征值（也可由 \(Ax=0\) 两基础解得出），不过也不一定为二重

2016超越卷-3

T₇ 凹函数与随机变量数学期望：\(g(X)\geqslant g(EX)+g^{'}(EX)(X-EX)\Rightarrow Eg(X)\geqslant Eg(EX)+g^{'}(EX)E(X-EX)=g(EX)\)

T₁₃ 向量空间的坐标，一般来说都有转置：\((a,\,b)^T\)，不要漏写了

2016超越卷-4

T₄ \(f(x)\) 连续 \(\Rightarrow\) \(F(x)\) 可导；但 \(f(x)\) 间断 \(\nRightarrow\) \(F(x)\) 不可导（跳跃间断点不可导，可去间断点不影响）

T₅ \(\alpha_1,\,\alpha_2\) 线性无关，\(\beta\) 与 \(\alpha_1\) 和 \(\alpha_2\) 都正交，则 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta\) 线性无关————左乘 \(\beta^T\)

T₇ \(F(x)\) 是不是随机变量的分布函数————注意严格来说 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0^+,\,\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1^-\)，有些函数趋近方向是错的（例如不非负）

T₈ 几种常见的随机变量不相关是否独立：

• \(X,\,Y\sim B(1,\,p)\)：\(XY\sim B(1,\,p^2)\)，独立
• \(X,\,Y\sim P(\lambda)\)：不独立（不过不会证）
• \(X,\,Y\sim N(0,\,1)\)：取 \(X\sim N(0,\,1),\,Z\sim\begin{pmatrix}-1&1\\0.5&0.5\end{pmatrix}\)，\(Y=XZ\)，可证明 \(Y\sim N(0,\,1)\)，且 \(X,\,Y\) 不相关、不独立
• \(X,\,Y\sim U[-1,\,1]\)：取 \(X\sim U[-1,\,1],\,Z\sim\begin{pmatrix}-1&1\\0.5&0.5\end{pmatrix}\)，\(Y=XZ\)，可证明 \(Y\sim U[-1,\,1]\)，且 \(X,\,Y\) 不相关、不独立

T₁₃ 对 \(A^2=O\) 的一个的处理方式：视为 \(AA=O\) ———— \(A\) 三阶非零\(\Rightarrow\ r(A)\geqslant 1\)，\(A^2=O\Rightarrow r(A)+r(A)\leqslant 3\)，故 \(r(A)=1\)

T₁₄ \(Y=(X-EX)^2\)，则 \(EY=E(X-EX)^2=DX\)，直接用，不要再推了

2016超越卷-5

T₂ \(\sum a_n\) 绝对收敛，则 \(\sum (a_1a_n+a_2a_n+\cdots+a_n^2)\) 绝对收敛————\(\sum |a_1a_n+a_2a_n+\cdots+a_n^2|=\sum|a_nS_n|\leqslant\sum M|a_n|\)

T₅ \(A_1x=\beta_1\) 与 \(A_2x=\beta_2\) 同解，等价于 \((A_1\ \vdots\ \beta_1)\) 与 \((A_2\ \vdots\ \beta_2)\) 行向量组等价 \(\Rightarrow\) \(A_1,\,A_2\) 矩阵等价（秩相等）、行向量组等价

T₈ 冷僻知识点：\(H_0\) 为合格。在检验过程中发现将一些不合格品误认为是合格品，则样本容量 \(n\) 固定时————纳伪概率增大，弃真概率降低

T₁₀ 冷僻知识点：微分方程的特解形式————只要写出“设特解 \(y^*\) 为”的那个 \(y^*\) 即可（带有未知数）

T₁₂ 补线格林，补面高斯，不要忘记减去补的线（面）

T₁₄ 泊松分布可加性：\(X\sim P(\lambda)\)，\((X_1,\,\cdots,\,X_n)\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本，则 \(\sum X_i\sim P(n\lambda)\)

2017

2017超越卷-1

T₈ 注意二维正态分布是 \(N(\mu_1,\,\mu_2;\,\sigma_1^2,\,\sigma_2^2;\,\rho)\)

T₉ 易错：求反函数二阶导 \(\varphi^{''}(1)\) ———— 注意这个 \(1\) 是 \(y=1\)，对应的 \(x\) 未必是 \(1\)

T₁₂ 计算诸如 \(\int_L x\,{\rm d}s,\,\iint_\sigma x\,{\rm d}S\) 这种被积函数为一次方的曲线（面）积分 ———— 利用形心

T₁₄ 设 \(F_X(x)\)，求 \(F_Y(y)\) ———— 如未知 \(X\) 分布（也许是离散（混合）型），注意 \(P\{X<y\}\) 和 \(P\{X\leqslant y\}\) 不能混为一谈

2017超越卷-2

T₅ \(P^{-1}AP=B\Rightarrow A\sim B\)；\(AP=B\Rightarrow\) 列变换，列组等价；\(P^{-1}A=B\Rightarrow\) 行变换，行组等价

T₆ \(P=(\alpha_{1,\,2,\,3,\,4}特征向量组合)\)，求 \(P^{-1}AP\) ———— 联想到经典的大题题型：\(AP=PB\)

T₈ 二维分布 \(f(x,\,y)\)，又有 \(Z=Z(X,\,Y)\)，不管它是离散型，连续型，还是混合型，\(EZ\) 直接 \(\iint_D z(z,\,y)f(x,\,y)\,{\rm d}x{\rm d}y\) 即可

其实一维混合型，如经典的 \(X\sim E(\lambda),\,Y=\begin{cases}1&,X\leqslant1\\X&,\,X>1\end{cases}\)，求 \(EY\) 也是直接 \(\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x)\,{\rm d}x\)，这样不容易错

T₁₁ \(\varphi(x)=\int_0^x\)，求 \(\varphi(x)+\varphi(-x)-\dfrac{1}{2}\varphi(x^2)\)，常规做法用换元，不过也可以直接给待求的式子求导，往往是常数（不然积分应该也比较好算）

2017超越卷-3

T₄ \(0\leqslant x\leqslant 1,\,\sin^2 x<\sin x^2,\,\cos^2 x<\cos x^2\)（可以泰勒展开证明）

T₅ 齐次方程组 \(Bx=0\) 的解都是 \(Ax=0\) 的解（\(Bx=0\Rightarrow CBx=0\Leftrightarrow Ax=0\)） \(\Leftrightarrow\) \(A\) 行向量都可由 \(B\) 行向量表示（\(CB=A\)）

这道题也可以用另外一种思路，\(\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}x=0\) 的解即 \(Bx=0\) 的所有解，故 \(\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\overset{行变换}\longrightarrow\begin{pmatrix}O\\B\end{pmatrix}\)，由此可得 \(A\) 行向量可由 \(B\) 行向量表示

T₆ 可逆线性变换：\(f(x1,\,x2,\,x3)=(a_1x_1,\,a_2x_2,\,a_3x_3)(b_1x_1,\,b_3x_3,\,b_3x_3)\) 且 \((a_1,\,a_2,\,a_3)^T,\,(b_1,\,b_2,\,b_3)^T\) 线性无关

通过可逆的线性变换 \(\begin{cases}z_1=&a_1x_1+&a_2x_2+&a_3x_3\\z_2=&b_1x_1+&b_2x_2+&b_3x_3\\z_3=&&&x_3\end{cases}\) 将 \(f\) 变为 \(z_1z_2\)，再接着求规范型

T₇ 一道有趣的概率题： \(3\) 只黄球，\(n-3\) 只白球，将其随机放入 \(1,\,2,\,\cdots,\,n\) 号盒子中，从 \(1\) 号盒子开始逐个打开，直到出现两个黄球为止

记打开了 \(X\) 个盒子，求 \(EX\) ————— 找一个对称的事件：从 \(n\) 号盒子开始打开，直到出现两个黄球为止，记打开了 \(Y\) 个盒子

\(X+Y=n+1\Rightarrow E(X+Y)=n+1\)，而 \(EX=EY\)，故 \(EX=\dfrac{n+1}{2}\)

T₈ \(F\) 分布：\(P\{Y>y_{\alpha}\}=F_{\alpha}(n_1,\,n_2)\Rightarrow y_{\alpha}=F_{\alpha}(n_1,\,n_2)\)，以及 \(F_{1-\alpha}(n_1,\,n_2)=\dfrac{1}{F_{\alpha}(n_1,\,n_2)}\)

2017超越卷-4

T₃ 曲线求切向量，注意是 \(\boldsymbol \tau=(x^{'}(t_0),\,y^{'}(t_0),\,z^{'}(t_0))\) 或 \(\boldsymbol \tau=(1,\,y^{'}(x_0),\,z^{'}(x_0))\)，不要和曲面求法向量 \(\boldsymbol n=(F^{'}_x\Big{|}_{P_0},\,F^{'}_y\Big{|}_{P_0},\,F^{'}_z\Big{|}_{P_0})\) 混淆

T₄ \(f(x)\) 与其反函数 \(\varphi(x)\) 的相关积分，可以通过画图做，具体看题解

T₈ 区间估计置信度 \(1-\alpha\) —— 是 \((\hat{\theta_1},\,\hat{\theta_2})\) 包含 \(\theta\) 的概率，不能说成 \(\theta\) 落在 \((\hat{\theta_1},\,\hat{\theta_2})\) 的概率

T₁₀ 三角函数试试万能代换：\(\displaystyle\int{\rm e}^x\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}\,{\rm d}x=\int {\rm e}^x\,{\rm d}(\tan\dfrac{x}{2})+\int{\rm e}^x\tan\dfrac{x}{2}\,{\rm d}x\)

2017超越卷-5

T₆ 反对称矩阵性质再添几个（前面一部分在2022-李艳芳(2)-2）：

• 反对称矩阵 \(A\) 合同于 \(\begin{pmatrix}0&1&&&&&&\\-1&0&&&&&&\\&&\ddots&&&&&\\&&&0&1&&&\\&&&-1&0&&&\\&&&&&0&&\\&&&&&&\ddots&\\&&&&&&&0\end{pmatrix}\)，并由此可知，反对称矩阵的秩一定是偶数，特征值成对出现

T₈ 假设检验显著性水平为 \(\alpha\) —— 犯弃真错误的概率是 \(\alpha\)，如H₀是生产线正常，则说明“若生产线实际正常，则检验结果认为它正常的概率为 \(1-\alpha\)”

2018

2018超越卷-1

T₁ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1} \dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}{x-1}=4\) 处理： \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1} \dfrac{a(x-1)(x-\lambda)(x-\mu)}{x-1}=a(x-\lambda)(x-\mu)=4\)

T₂ \(f^{''}(x)>0\)，判断积分 \(\displaystyle\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\,\mathrm{d}x\) 正负：已知的是 \(f^{'}(x)\) 单调性，故先分一次部，再判断

T₁₀ 三角函数求导：\((\sin x)^{'}=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})\)

2018超越卷-2

T₁ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f^{'}(x)\) 存在，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 可导的一个充分条件为

• \(f(x)\) 在 \(x=0\) 连续 —— 充分 —— 连续后就可以使用洛必达 \(f^{'}(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}f^{'}(x)\)
• \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)}{x}\) 存在 —— 不充分 —— 不连续，\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\) 未必存在

T₂ \(f(x)\) 是 \((-\infty,\,+\infty)\) 上周期为 \(T\) 的奇函数：必有 \(\displaystyle\int_0^Tf(t)\,\mathrm{d}t=0\)

T₇ 注意区分相关性和独立性：\(EX\cdot EY=EXY\) 和 \(f_X(x)f_Y(y)=f(x,\,y)\)

T₁₂ \(f(x,\,y)\) 二阶偏导数存在，依旧推不出连续性，如 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2y^2}{x^4+y^4}&,(x,\,y)\neq(0,\,0)\\0&,(x,\,y)=(0,\,0)\end{cases}\)

2018超越卷-3

T₁₁ 已知通解求微分方程：通过导数之间的运算消去常数 \(\mathrm{C}\) 即可

T₁₃ 正交矩阵实特征值只能为 \(\pm 1\)；实对称正交矩阵，特征值只能是 \(\pm 1\)

2018超越卷-4

T₁₀ 反函数积分 \(\displaystyle\int f^{-1}(x)\,\mathrm{d}x\xlongequal{y=f^{-1}(x)}\int y\,\mathrm{d}[f(y)]\)

2018超越卷-5

T₂ 注意 \(f^{''}(x)>0\) 有两种图像：单增且越增越快、单减且越减越慢

2019

2019超越卷-1

T₄ \(f(x)\) 在 \(U(0,\,\delta)\) 内可导，级数 \(\sum f(\dfrac{1}{n})\) 收敛，则邻域内 \(f(x)=0,\,f^{'}(x)=0\)（导函数不为 \(0\)，则将于 \(\dfrac{1}{n}\) 同阶）

T₅ \(\xi_1,\,\xi_2,\,\xi_3\) 为 \(Ax=0\) 基础解系，则以下向量组是不是基础解系？

• \(\xi_1,\,\xi_2,\,\xi_3\) 的等价向量组：不是，等价向量组甚至可以不止 \(3\) 个向量
• 可逆阵 \(P\)，\(P\xi_1,\,P\xi_2,\,P\xi_3\)：不是，\(AP\xi\) 未必等于 \(0\)
• \((PA)x=0\) 的一个基础解系：是，同解方程组

T₆ 不可相似对角化的反例：秩为 \(1\)，\(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)；秩为 \(2\)，\(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)

T₆ \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，当 \(bc>0\) 时，\(A\) 可相似对角化：因为 \(|\lambda E-A|=\lambda^2-(a+d)\lambda-bc,\,\Delta>0\)

2019超越卷-2

T₈ 将一米长的木棒任意截成三段，前两段长度 \(X\) 和 \(Y\)，求 \(X\) 和 \(Y\) 的相关系数

• 常规做法：\((X,\,Y)\) 在 \(0<x<1,\,0<y<1,\,0<1-x-y<1\) 的区域（为三角形）内均匀分布（有 \(EX=\dfrac{1}{3},\,DX=\dfrac{1}{18}\)）
• 精妙做法：\(X+Y+Z=1\Rightarrow X+Y=1-Z\Rightarrow D(X+Y)=D(1-Z)\)，利用 \(DX=DY=DZ\) 即可

T₁₁ \(z=f(x,\,y)\) 表示的曲面 \(S\) 与 \(xOy\) 的交线为 \(y=2x^2-3x+4\)

• 则 \(f(x,\,y)=k(2x^2-3x+4-y)\)
• 或者也可以理解成 \(f(x,\,2x^2-3x+4)=0\)，而 \(\dfrac{\part z}{\part y}\) 就是 \(f^{'}_2\)

2019超越卷-3

T₇ 区间化简常用结论：\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}\,{\rm d}x=\dfrac{(b-a)^2}{8}\pi\)，以及 \(\displaystyle\int_a^b\dfrac{\,{\rm d}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi\)

T₉ 积分极限同样可以夹逼：\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^n\dfrac{x}{n^2+x}\,\mathrm{d}x\overset{夹逼非齐项}\longrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^n\dfrac{x}{n^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\)

T₁₂ 马鞍面 \(z=xy\) 被圆柱面 \(x^2+y^2=3\) 截下的有限部分曲面 \(\Sigma\) 的面积？不会画图，那就看看能不能投影

2019超越卷-4

T₄ \(0\leqslant x_n<1\)，则 \(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n^n=0\) ？错误，反例如 \((1-\dfrac{1}{n})^n\rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{e}}\)

• 连续函数在 \(R/\{0\}\) 可导，而 \(\lim_{x\rightarrow 0}f^{'}(x)\) 存在，则 \(x=0\) 处可导？

  正确，连续函数可以洛必达，\(f^{'}(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}f^{'}(x)\)

T₇ 利用 \(F(x)\) 计算 \(EX\)（有 \(X\) 非负）：\(\displaystyle\int_0^{+\infty}xf(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^{+\infty}\left[\int_0^x f(x)\,\mathrm{d}t\right]\,\mathrm{d}x=\int_0^{+\infty}\,\mathrm{d}t\int_t^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^{+\infty}[1-F(t)]\,\mathrm{d}t\)

T₁₄ 如何证明 \(\chi^2(2)\) 就是 \(E(\dfrac{1}{2})\)：\(\displaystyle P\{X_1^2+X_2^2\leqslant R^2\}=\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}\theta\int_0^R\dfrac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-\frac{r^2}{2}}r\,\mathrm{d}r=\int_0^{R^2}\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}2}\,\mathrm{d}x\)

2019超越卷-5

T₅ \(r(A^TA\vdots A^T\beta)=r[A^T(A\vdots \beta)]\leqslant r(A^T)\)，而 \(r(A^TA\vdots A^T\beta)\geqslant r(A^TA)= r(A^T)\)，所以 \(r(A^TA\vdots A^T\beta)= r(A^T)\)

• 即无论 \(Ax=\beta\) 解的情况如何，方程组 \(A^TAx=A^T\beta\) 永远是有解的（这个结论并不局限于方阵）
• 最小二乘：\(Ax=\beta\) 的最小二乘解满足 \(A^TAx=A^T\beta\)，当 \(A\) 列满秩时，\(x=(A^TA)^{-1}A^T\beta\) 唯一

T₇ \(X\) 非负，期望 \(EX=\mu(0<\mu<1)\)，则 \(P\{X\leqslant 1\}\geqslant1-\mu\)，欣赏一下证明：

• \(\displaystyle P\{X\leqslant 1\}=\int_0^1f(t)\,\mathrm{d}t=1-\int_1^\infty f(t)\,\mathrm{d}t\geqslant1-\int_1^\infty tf(t)\,\mathrm{d}t\geqslant 1-\int_0^\infty tf(t)\,\mathrm{d}t=1-\mu\)

T₈ 切比雪夫不等式，只要 \(EX\) 和 \(DX\) 存在，就能用

• 但对于 \(Y\sim\chi^2(1)\)，要计算 \(P\{Y\leqslant \varepsilon\}\)，这并不符合切比雪夫不等式的形式，要利用 \(X^2\sim\chi^2(1)\) 化出绝对值 \(|X-0|\)

T₁₀ 有理分式分解：求谁挡谁代谁

• 如本题 \(\dfrac{1}{x(x+1)^2}=\dfrac{\frac{1}{(0+1)^2}=1}{x}+\dfrac{\square}{x+1}+\dfrac{\frac{1}{-1}=-1}{(x+1)^2}\)。再由 \(x\rightarrow+\infty\) 时原式趋于 \(0\)，得 \(\dfrac1x+\dfrac\square{x+1}\rightarrow 0\)，即 \(\square=-1\)

T₁₂ 上半单位圆形心 \((0,\,\dfrac4{3\pi})\)

T₁₃ 范德蒙行列式与克拉默法则，\(\beta\) 与前面的 \(\alpha_4\) 是一样的，直接可得 \(x_1=x_2=x_3=0,\,x_4=\dfrac DD=1\)

T₁₄ 画图分析各区域期望，四个象限内区域取值分别为 \(y,\,y,\,y,\,0\) 期望分别为 \(\dfrac12,\,\dfrac12,\,-\dfrac12,\,0\)，于是总的期望就是 \(\dfrac18\)