数学一真题

2008

T₄ \(f(x)\) 单调有界

• \(\{x_n\}\) 收敛，则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛：错误，反例如 \(f(x)=\begin{cases}1&,\,x\geqslant 0\\-1&,\,x<0\end{cases},\,x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\)
• \(\{x_n\}\) 单调，则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛：正确，\(\{f(x_n)\}\) 单调有界
• \(\{f(x_n)\}\) 收敛，则 \(\{x_n\}\) 收敛：错误，反例如 \(f(x)=\arctan x,\,x_n=n\)
• \(\{f(x_n)\}\) 发散，则 \(\{x_n\}\) 收敛：错误，反例如 \(f(x)=\arctan x,\,x_n=n\)

T₈ \(|\rho_{XY}|=1\) 反映 \(X,\,Y\) 的线性关系，\(\rho_{XY}=1\) 则 \(P\{Y=aX+b\}=1\) 有 \(a>0\)，\(\rho_{XY}=-1\) 则相反

T₉ 微分方程目前真题没见到需要考虑定义域的，李林有定义域并限制在 \((0,\,\pi)\) 的为2022-李林6-4（式中有\(\cot x\)），定义域并未限制在一个区间的为108的微分方程T₁（虽然分母也有 \(\sin x\)），做到就随缘算了（大题凭后续题型的感觉，小题不带拉倒）

T₁₈ 利用定义证明 \(F^{'}(x)=f(x)\)，积分中值定理还是可以用的；证明周期函数积分周期性 \(\int_x^{x+T}=\int_0^{x+T}-\int_0^x=\int_0^T+\int_T^{x+T}-\int_0^x=\int_0^T\)

T₂₂ 规范起见，求 \(F_Z(z)\) 从全概率公式 \(P\{Z\leqslant z|X=0\}P\{X=0\}+\cdots\) 写起

2009

T₄ 如何证明正项级数 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Rightarrow \sum a^2_n\) 收敛？比值审敛法 \(\dfrac{a_n^2}{a_n}\rightarrow 0\)

T₆ \(C=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\)，则 \(C^T=\begin{pmatrix}A^T&O\\O&B^T\end{pmatrix},\,C^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix},\,C^*=\begin{pmatrix}|B|A^*&O\\O&|A|B^*\end{pmatrix}\)

\(C=\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}\)，则 \(C^T=\begin{pmatrix}O&B^T\\A^T&O\end{pmatrix},\,C^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix},\,C^*=\begin{pmatrix}O&|A|B^*\\|B|A^*&O\end{pmatrix}\)

T₇ \(F(x)=a\Phi(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma_1})+b\Phi(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma_2})\)，并不意味着 \(X\sim N(a\mu_1+b\mu_2,\,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)\) 。期望可相加，方差并不行

T₁₀ 注意 \(\lambda_1=\lambda_2=1\) 特征方程不是 \(\lambda^2-1=0\)。另外回忆一下 \(\dfrac1{F(D)}P(x)\) 类型的微分算子法怎么做

T₁₈ 常数 \(K\) 值法

• 第一类：令 \(f^{'}(\xi)=K\)，将 \(b\) 换成 \(x\)，构造 \(F(x)\)
• 第二类：令 \(f^{'}(\xi)=K\)，将 \(a\) 和 \(b\) 对称地分离到等式两边，即 \(F(a)=F(b)\)

2010

T₃ 在 \(0\rightarrow\dfrac12\) 和 \(\dfrac12\rightarrow1\) 上分别讨论积分敛散性，常用①本身极限是否存在；②除以 \(\dfrac1{x^p}\) 或 \(\dfrac1{(1-x)^p}\) 判断极限是否存在；两种方法判定

T₁₄ \(\sum\dfrac{k^2}{k!}\) 级数：没必要构造幂级数，直接凑 \(\mathrm{e}\) 就好了

T₁₅ 记忆发生了错乱？\(\dfrac1{F(D)}\mathrm{e}^{kx}P(x)=\mathrm{e}^{kx}\dfrac1{F(D+k)}P(x)\)，这里是 \(+k\)，就当是分母多了个 \(\mathrm{e}^{kx}\) 好了

T₁₉ 求一个根本画不出图的曲面积分，一般就是投影了。这里是隐函数求 \(\dfrac{\part z}{\part x}\) 和 \(\dfrac{\part z}{\part y}\)，绕了一下，所以没看出来

T₂₁ 记忆发生了错乱？\(A=\dfrac{a-b}{\alpha_1^T\alpha_1}\alpha_1\alpha_1^T+bE\)，肯定是 \(+bE\)，想想这个公式是怎么来的（\(A-bE\) 的特征值）

T₂₂ 二维正态分布的形式还是要认识的：\(f(x,\,y)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{e}^{-\tfrac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\tfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\tfrac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\tfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]}\)

2011

T₁ 判断拐点：\(f^{(n)}(x_0)\neq 0,\,f^{(n-1)}(x_0)=\cdots=f^{''}(x_0)=0\)，则 \(n\) 奇为拐点，\(n\) 偶非拐点；此外也可用画图法：从右往左画，奇穿偶不穿

T₁₀ 微分算子法（但非常系数的一阶微分方程应该是用不了的）：\(y^*=\dfrac{1}{D+1}\mathrm{e}^{-x}\cos x=\mathrm{e}^{-x}\dfrac1D\cos x=\mathrm{e}^{-x}\sin x\)

T₁₂ 斯托克斯公式有时候可以保留 \(\cos\) 形式（或早些用它换掉），往往有 \(\dfrac1{\sqrt{3}}\,\mathrm{d}S\) 类似的形式可以直接换成 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

T₂₁ 特！征！向！量！记！得！加！ \(k\) ！（而且要不等于零）

T₂₂ 求二维变量 \((X,\,Y)\) 的概率密度：只要不是时间来不及，每个概率都用算式算出来。最后的分布表中 \(X\) 竖 \(Y\) 横

2012

T₃ 极限存在 \(\overset{?}\Rightarrow\) 可微；可微 \(\overset{?}\Rightarrow\) 极限存在的题型怎么做？

T₆ 另外一种经典解法：\(AQ=Q\begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&2\end{pmatrix}\)

T₇ 记忆发生了错乱？\(X\sim E(\lambda)\)，\(f(x)\) 是 \(\lambda{\rm e}^{-\lambda x}\)，\(F(x)\) 才是 \(1-{\rm e}^{-\lambda x}\)

T₁₀ 区间再现、区间化简，以及一个经典结论：\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}\,{\rm d}x=\dfrac{(b-a)^2}{8}\pi\)

T₁₁ \(\nabla f\) 用 \(\boldsymbol{i},\,\boldsymbol{j},\,\boldsymbol{k}\)，不要用 \((x,\,y,\,z)\)

T₁₇ 易错：幂级数，\(S(0)\) 并不总是 \(0\)，一定要严格算一下

2013

T₁₃ \(a_{ij}=A_{ij}\)，包括两个条件：\(A^T=-A^*\)，\(|A|=-(a^2_{11}+a^2_{12}+a^2_{13})<0\Rightarrow |A|=-1\)

T₁₄ 常用结论：指数分布的无记忆性 \(P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}\)

T₂₀ 题型：存在矩阵 \(C\) 使得 \(AC-CA=B\) —— 设 \(C\) 后列方程，为方程组有解的题

2014

T₆ 傅里叶级数均方逼近：\(f(x)\subset[-\pi,\,\pi],\,T_n=\displaystyle\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}a_k\cos kx+b_k\sin kx\)

则当 \(a_n,\,b_n\) 为 \(f(x)\) 的傅里叶系数时， \(I=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}[f(x)-T_n(x)]^2\,{\rm d}x\) 最小

T₁₁ 记忆发生了错乱？\(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f(\dfrac{y}{x})=f(u)\Rightarrow\dfrac{{\rm d}u}{f(u)-u}=\dfrac{{\rm d}x}{x}\)，注意是 \(f(u)-u\) —— 如 \(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=0\Rightarrow u=\dfrac{{\rm C}}{x}\)，对应微分方程即 \(\dfrac{{\rm d}u}{-u}=\dfrac{{\rm d}x}{x}\)

T₁₂ 柱面与斜平面的交线————本身并不是圆，投影才是圆，类似题目 \(\displaystyle\iint_\Sigma\,{\rm d}S\) 不要直接算面积，投影一下再算

T₁₅ 易错：含有积分的极限，洛必达的时候，不含积分的分子（母）不要忘了求导

T₁₈ 第（II）类积分，投影、格林、高斯、斯托克斯 —— 注意正负号

T₂₁ \(r(A)=1\nRightarrow \lambda=0,\,0,\,\cdots,\,0,\,k\) —— 注意只有可对角化才能这么做

T₂₃ 大数定律、概率收敛，考前看看书

2015

T₃ \(\sum|a_n|\) 发散 \(\nRightarrow\) \(\sum a_nx^n\) 在 \(x=-1\) 处收敛，因为 \(\sum a_nx^n\) 可能是缺项的，若 \(a_{2k-1}\equiv 0\)，那么 \(\sum a_n(-1)^n\) 仍将发散

T₂₂ 几何分布相关：对 \(X\) 独立重复观测，观测到第 \(2\) 个大于 \(3\) 的观测值出现时停止，\(Y\) 为观测次数，求 \(EY\)

​ 可以利用两个几何分布：开始 \(\rightarrow\) 第一次出现为 \(Y_1\)，第一次出现 \(\rightarrow\) 第二次出现为 \(Y_2\)，则 \(Y=Y_1+Y_2\)，且 \(Y_{1,\,2}\sim Ge(p)\)

2016

T₄ \(f(x)=\begin{cases}x&,\,x\leqslant 0\\\dfrac1n&,\,\dfrac1{n+1}<x\leqslant\dfrac1n\end{cases}\) 在 \(x=0\) 处可导：\(\dfrac1{n+1}<x\leqslant\dfrac1n\) 时，\(1\leqslant\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\frac1n}{x}<\dfrac{n+1}{n}\rightarrow 1\)

T₈ \(D(Y_1+Y_2)=D(1-Y_3)\)，原来超越的题源在这

T₁₄ 区间估计估 \(\mu\)，区间是对称的（正态分布，\(t\) 分布图像都对称）；估 \(\sigma^2\) 则不对称，左除 \(\chi^2_{\frac\alpha2}(n-1)\)，右除 \(\chi^2_{1-\frac\alpha2}(n-1)\)

T₁₆ 微分方程计算 \(y(x)\) 积分，常用微分方程将 \(y\) 换成其导数形式，直接消去积分

T₁₉ \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|x_{n+1}-x_n|\) 绝对收敛，已经足以说明 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} x_n\) 存在：利用 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty} (x_{n+1}-x_1)\) 存在

• 另解1：\(x_{n+1}-x_n\) 与 \(x_2-x_1\) 同号，讨论 \(x_1\) 与极值点 \(A\) 的三种大小情况
• 另解2：直接 \(|x_{n+1}-A|=|f(x_n)-f(A)|=f^{'}(\xi)|x_n-A|<\dfrac12|x_n-A|\)，递推后用夹逼定理

T₂₂ 全概率永远是可以用的，但作为不独立的 \(U,\,X\)，错在条件概率的分子上 \(P(AB)\neq P(A)P(B)\)：

\(P\{U+X\leqslant z\ |\ U=0\}P\{U=0\}=\dfrac{P\{U+X\leqslant z,\,U=0\}}{P\{U=0\}}P\{U=0\}=P\{X\leqslant z,\,U=0\}\neq P\{X\leqslant z\}P\{U=0\}\)

2017

T₁₉ 求 \(xOy\) 面上的投影方程：\(z=0\) 不要忘写（还行）

T₂₃ 好像发现个小问题：求 \(\hat{\sigma}\) 用 \(\dfrac{\mathrm{d}\ln L(\sigma)}{\mathrm{d}\sigma}\overset{令}=0\)；求 \(\hat{\sigma^2}\) 用 \(\dfrac{\mathrm{d}\ln L(\sigma^2)}{\mathrm{d}\sigma^2}\overset{令}=0\)，不给老师扣分机会属于是

2018

T₁ \(1-\cos\sqrt{|x|}\sim\dfrac{\sqrt{|x|}^2}2\sim\dfrac{|x|}2\)，注意绝对值别漏掉了

T₅ 两矩阵相似的充要条件：两矩阵拥有相同的特征值，且每个特征值的几何重数和代数重数对应相等

• 几何重数：\(\dim\{x\in V:\,(\lambda E-A)x=0\}\)，即特征值 \(\lambda\) 对应特征方程的解向量的个数
• 代数重数：\(\dim\{x\in V:\,\exist n\in \N,\ s.t.\ (\lambda E-A)^n x=0\}\)，（线性代数范围内）即特征值 \(\lambda\) 的重数

T₆ 分块矩阵秩 \(\max\{r(A),\,r(B)\}\leqslant r(A\,\vdots B)\leqslant r(A)+r(B)\)；\(r(A\,\vdots AB)=r(A)\)：\(AB\) 列可由 \(A\) 表示，行向量相关性不变，增加的列向量均相关

T₈ 检验水平 \(\alpha\) 越低（置信度越高，越不允许发生弃真错误），接受域越大，拒绝域越小

T₁₆ 如何严谨地说明拉格朗日乘数法求得的驻点处是极大（小）值/最大（小）值

• 黑塞矩阵（Hesse-Matrix）\(\mathbf{H}=\begin{pmatrix}\dfrac{\part^2f}{\part x_1^2}&\dfrac{\part^2f}{\part x_1\part x_2}&\cdots&\dfrac{\part^2f}{\part x_1\part x_n}\\\dfrac{\part^2f}{\part x_2\part x_1}&\dfrac{\part^2f}{\part x_2^2}&\cdots&\dfrac{\part^2f}{\part x_2\part x_n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\dfrac{\part^2f}{\part x_n\part x_1}&\dfrac{\part^2f}{\part x_n\part x_2}&\cdots&\dfrac{\part^2f}{\part x_n^2}\\\end{pmatrix}\)，考察本题的 \(\mathbf{H}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2\pi}&0&0\\0&\dfrac{1}{8}&0\\0&0&\dfrac{\sqrt3}{18}\\\end{pmatrix}\)，黑塞矩阵正定，是极小值

  • 注：多元函数 \(f(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)\) 在 \(x_0(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)\) 处的泰勒展开式为 \(f(x)=f(x_0)+\nabla f(x_0)^T\Delta x+\dfrac12\Delta x^T\mathbf H(x_0)\Delta x+\cdots\)
  • 驻点 \(\nabla f(x_0)=\begin{pmatrix}\dfrac{\part f}{\part x_1}&\dfrac{\part f}{\part x_2}&\cdots&\dfrac{\part f}{\part x_n}\end{pmatrix}^T_{x_0}=0\)
  • 若 \(\mathbf{H}(x_0)\) 正定（各阶主子式均大于零），则取到极小值
  • 若 \(\mathbf{H}(x_0)\) 负定（各阶主子式均小于零），则取到极大值

• 面积函数 \(S(x,\,y,\,z)\) 连续，在闭区域 \(D=\{(x,\,y,\,z)|x+y+z=2,\,x\geqslant0,\,y\geqslant0,\,z\geqslant0\}\) 内必有最大值和最小值，考察边界最小值，发现均大于开区域内的唯一驻点的函数值 \(\dfrac{1}{\pi+4+3\sqrt3}\)。而事实上，作为开区域内唯一的驻点，函数值又比边界所有点的函数值都要小，就足以说明这个点是闭区域的最小值，也就是开区域内的最小值了

T₁₈ \(y^{'}+p(x)y=q(x)\)，通解 \(\displaystyle y=\left[C+\int_0^xq(t)\mathrm{e}^{\int_0^tp(s)\,\mathrm{d}s}\,\mathrm{d}t\right]\mathrm{e}^{-\int_0^x p(x)\,\mathrm{d}x}\) 包含所有解，求出确定的 \(C\) 后，解的唯一性已经确定，不需要另加证明

T₁₉ \(x_n>0\ (n\in N^*),\,x_n\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_n}-1\)，证明 \(0<x_{n+1}<x_n\)：拉格朗日中值定理 \(\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\dfrac{\mathrm{e}^{x_n}-1}{x_n}=\mathrm{e}^{\xi_n}\)，故 \(0<x_{n+1}=\xi_n<x_n\)

T₂₀ 求 \(f(\boldsymbol{x})\) 规范型：配方；求 \(\lambda\)；特别情况下，利用 \(f(x)\) 非负，规范型就不可能有负系数，因此正惯性系数 \(p=r(A)\)

T₂₁ \(A\) 可列变换化为 \(B\)，求矩阵内参数 \(a\)，求满足 \(AP=B\) 的 \(P\)：考察增广矩阵 \((A\,\vdots\,B)\)，不知道当时我是怎么想的（？）

T₂₃ \(\displaystyle D\overline{X}=D\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^n X_i\right)=\dfrac1{n^2}\sum_{i=1}^n DX_i=\dfrac{DX}n\)，\(\dfrac1n\) 别漏了

2019

T₃ \(\{u_n\}\) 单调增加有界数列，几个常用的反例：正项不趋向于 \(0\) 的数列 \(1-\dfrac1n\)，非正项数列 \(-\dfrac1n\) 等

T₄ 补充一个点，复连通区域内 \(\dfrac{\part P}{\part y}=\dfrac{\part Q}{\part x}\nRightarrow\) 积分与路径无关，只是必要不充分条件

T₆ 三个平面有无交点 \(\Leftrightarrow\) \(r(A)\) 是否等于 \(r(\overline{A})\)；三个平面有无平行关系 \(\Leftrightarrow\) 平面法向量是否有平行关系

T₁₇ 记个结论秒了

• \(\displaystyle\int \mathrm{e}^{ax}\sin{bx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{\left|\begin{matrix}(\mathrm{e}^{ax})^{'}&(\sin bx)^{'}\\\mathrm{e}^{ax}&\sin bx\end{matrix}\right|}{a^2+b^2}+\mathscr{C}=\dfrac{a\sin bx-b\cos bx}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+\mathscr{C}\)
• \(\displaystyle\int \mathrm{e}^{ax}\cos{bx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{\left|\begin{matrix}(\mathrm{e}^{ax})^{'}&(\cos bx)^{'}\\\mathrm{e}^{ax}&\cos bx\end{matrix}\right|}{a^2+b^2}+\mathscr{C}=\dfrac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+\mathscr{C}\)

T₁₈ 经过这次尝试，用Wallis公式的结论，还不如直接推

T₁₉ 换元用Jacobi，\(|J|=1\)，且换元后的积分区域就是锥面 \(u^2+v^2=w^2\) 和 \(w=1\) 围成的锥体

T₂₂ \(Z=XY\)，则 \(EZ=EX\cdot EY,\,E(XZ)=EX^2\cdot EY\)，都不用积分。\(P\{X<1,\,Z<-1\}=P\{0<X<1,\,XY<-1\}=0\) 推出不独立，应该是最合适的例子了

2020

这种卷子才带劲嘛（doge）

T₂ 注意题目条件中 \(x=0\) 处不一定连续

T₃ 这道题一眼看过去还以为是三维空间曲线切向量来着。A很好证，BCD特殊值取 \(f(x,\,y)=x,\,f(x,\,y)\equiv x\) 等

T₄ A选项可以利用逆否命题：若 \(r<R\) 则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{2n}r^{2n}\) 收敛（若 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{2n}r^{2n}\) 发散，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}r^{n}\) 必不可能绝对收敛）

• BC常用反例：①奇数列 \(1\)，偶数列 \(0\)，\(R=1,\,R^{'}=+\infty\)；②奇数列 \(\dfrac1{2^n}\)，偶数列 \(\dfrac1{4^n}\)，\(R=2,\,R^{'}=4\)
• 收敛区间内级数绝对收敛，这意味着奇子列与偶子列都绝对收敛（而收敛 \(\nRightarrow\) 收敛）

T₆ 两线关系，考察法向量 \(\boldsymbol{s_1},\,\boldsymbol{s_2}\) 和两点上各取一点的连线 \(\boldsymbol{P_1P_2}\)：法向量平行，则平行/重合；法向量不平行，则相交/异面

T₇ 可以利用韦恩图求解：第一步 \(P(AB\overline{C})=P(ABC)=0\)，第二步 \(P(AC\overline{B})=P(BC\overline{A})=\dfrac1{12}-0=\dfrac1{12}\)，第三步即可补全其他部分

T₁₃ 其实可以观察到各行和均为 \(a\) 可以提出，这样就不用讨论 \(a=0\) 的问题了

T₁₅ 注！意！ \(x=0,\,y=0\) 的！情！况！（看来大题也得算两遍。。。）

T₁₇ 看到递推关系，就是求导

T₁₈ 注意正负号（可以在草稿纸上醒目地标明每个积分正负）

T₂₀ 注意正交变换就是相似变换

T₂₁ 已知 \(F(x,\,y)\) 求 \(F_Y(y)\)，直接取 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x,\,y)\) 应该就够了。不过标答给的是 \(F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}\)，再写一遍肯定不会扣分

2021

T₄ 观察两个地方：①乘的值是否等于分割的一小份在 \(x\) 轴上的宽度；②取的点是否从积分下界取到了积分上界

T₅ 合同变换（行变换）求正负惯性系数，主元为 \(0\) 的，可把下面的某一行加（或减）上来，该操作得到的矩阵与原矩阵仍合同

T₁₀ 多体会一下这道题，犯“纳伪”的错误（\(\mu=11.5>11\)，要么不犯错，要么就是纳伪），说明 \(\overline{X}\leqslant 11\)，所以就是求 \(\overline{X}\leqslant11\) 的概率

T₁₃ 欧拉方程 \(x=\mathrm{e}^t\) 时，\(x^2y^{''}=D(D-1)y\)；\(x=-\mathrm{e}^t\) 时，\(x^2y^{''}=-D(-D-1)y=D(D+1)y\)

T₁₈ 两级数分别有收敛域，则两级数相加的收敛域，直接取交集即可，不需另加说明（感觉不太严谨。。）

• 两级数收敛半径不等，则相加减收敛半径取 \(\min\{R_1,\,R_2\}\)

2022

T₁ 注意 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{f(x)}{\ln x}=1\) 只能说明 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}f(x)=0\)，其余 \(f(0),\,f^{'}(0),\,\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}f^{'}(x)\) 一概不知

T₄ 被积函数中含有 \(\sin,\,\cos\) 的，也有可能是放缩至 \(0\) 或 \(1\) 建立不等式关系，如这里 \(I_2的被积函数<x\)，\(I_3的被积函数>x\)

T₇ 注意不要漏解了

T₁₀ 重期望公式 \(EY=E_X[E(Y|X)],\,DY=D_X[E(Y|X)]+E_X[D(Y|X)]\)

T₁₃ 注意，带等号的是闭区间！

T₁₄ 结论：斯特林公式 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac {n}{\mathrm{e}}\right)^n}=1\)，级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n!\left(\dfrac{\mathrm{e}}{n}\right)^n\) 发散（\(\sim\dfrac1{\sqrt {2\pi n}}\)）

T₁₉ 第二类曲线积分：①拆成好求的曲线段组合；②参数方程；③斯托克斯转第一类（法向量好求时）/第二类（投影或高斯）曲面积分

T₂₀ 凹函数 \(f(\dfrac{a+b}2)+f^{'}(\dfrac{a+b}2)\left(x-\dfrac{a+b}2\right)\leqslant f(x)\leqslant f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)