2022-李艳芳三套卷-数学二

2022-李艳芳3(2)-1

T₁ 数列求极限，见到诸如 \((n+1)^k-n^k\) 的，可以考虑Lagrange中值定理

T₂ 易错：洛必达可用的前提是导函数连续（不连续时不一定可用），尤其在选择题中可能会设坑

T₄ 古尔丁定理秒杀配套结论

• 摆线的一摆（\(x:\,0\rightarrow 2\pi a\)）：形心 \((\pi a,\,\frac{5}{6}a)\)，面积 \(3\pi a\)（关于这个面积，它是三倍圆面积，联想等边三角形滚一圈的情形）
• 三角函数 \(0\leqslant y\leqslant \sin x\) 的 \(0\) 到 \(\pi\) 段：形心 \((\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{8})\)，面积 \(2\)
• 三角函数 \(0\leqslant y\leqslant \sin x\) 的 \(0\) 到 \(\frac{\pi}{2}\) 段：形心 \((1,\,\frac{\pi}{8})\)，面积 \(1\)
• 上半圆 \(0\leqslant y\leqslant \sqrt{r^2-x^2}\)：形心 \((0,\,\frac{3r}{4\pi})\)，面积 \(\frac{\pi r^2}{2}\)（这个是古尔丁定理倒过来用 —— 来自物竞的远古记忆）
• 上半圆弧 \(y=\sqrt{r^2-x^2}\)：形心 \((0,\,\frac{2r}{\pi})\)，弧长 \(\pi r\)（笑死，高中它叫巴普斯定理，其实全名就是巴普斯-古尔丁定理）

T₉ \(A,\,B\) 可逆，则 \(AB\sim BA\)

T₁₁ 隐函数求斜渐近线 —— 构造 \(\frac{y}{x}\) 后取极限即可

T₂₂ 证明多元函数 \(f(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)\geqslant 0\) —— 利用正定矩阵 \(x^TAx\geqslant 0\) 的性质

2022-李艳芳3(2)-2

T₅ \(a\) 到 \(b\) 的定积分，被积函数与 \(a+b-x,\,\dfrac{a+b}{2}\) 等有关的，考虑使用区间再现

T₆ 不要忘了基本不等式（量纲上都是 \(1\cdot x^1\)）

​ \(\dfrac{n}{\displaystyle\sum_{i=0}^n\frac{1}{x_i}}\leqslant \sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i}\leqslant \dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^nx_i}{n}\leqslant \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^nx_i^2}{n}}\)

T₉ \(A^2\alpha\neq 0,\,A^3\alpha=0\)，应当联想到一个满秩阵 \(P=(\alpha,\,A\alpha,\,A^2\alpha)\)

​ 并且 \(P^{-1}AP=P^{-1}P\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\)，即 \(A\sim \begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\)

T₁₀ \(A^TA\) 主元为 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n a^2_{i1},\,\sum_{i=1}^n a^2_{i2},\,\ldots,\,\sum_{i=1}^n a^2_{in}\)。若实矩阵 \(A\)，\(A^TA=O\Leftrightarrow A=O\)

T₁₀ 反对称矩阵 \(A\)，具有下列常见结论：

• \(A^T=-A\)，则 \(|A^T|=(-1)^n|A|\)，\(n\) 为奇数时必不可逆
• \((x^TAx)^T=x^TA^Tx=-x^TAx\)，即 \(\forall x,\,x^TAx=0\)（对于可逆的反对称矩阵 \(A\)，\(x^TA^{-1}x\) 同样满足这个定理）
• 若 \((E+A)x=0\)，则 \(0=x^T0=x^T(E+A)x=x^TEx+x^TAx=x^Tx\)，必有 \(x=0\)，故 \(E+A\) 可逆
• \(\left|\begin{matrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{matrix}\right|\left|\begin{matrix}E_n&-A^{-1}\alpha\\0&1\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}A&0\\\alpha^T&-\alpha^TA^{-1}\alpha\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}A&0\\\alpha^T&0\end{matrix}\right|=0\)，即行列式 \(\left|\begin{matrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{matrix}\right|=0\) （而它的秩也正好是 \(n\)）

T₁₀ 经典分块矩阵 \(B=\begin{pmatrix}E&A\\A^T&O\end{pmatrix}\)，具有下列常见结论：

• \(\begin{pmatrix}E&A\\A^T&O\end{pmatrix}\overset{除E_{ij}外的行变换}\longrightarrow \begin{pmatrix}E&A\\O&-A^TA\end{pmatrix}\)。若实矩阵 \(A\)，则 \(B\) 正惯 \(n\)，负惯看 \(\sum a^2_{i1}\) 等主元有几个非零
• \(\begin{pmatrix}E&O\\-A^T&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&A\\A^T&O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&-A\\O&E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E&O\\O&-A^TA\end{pmatrix}\)。\(B\) 可逆 \(\Leftrightarrow\ A\) 可逆
• \(\forall y\neq 0\)，都有 \(y^TA^TAy\neq 0\)，即 \(A^TA\) 正定，可知 \(B\) 正惯 \(n\)，负惯 \(n\)。存在 \(x=\begin{pmatrix}0\\\beta\end{pmatrix}\) 使得 \(x^TBx=0\)

T₁₂ 易错：\(\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)^{(n)}\)，注意三个地方 —— \((-1^n),\,n!,\,a^n\) 一个都不要少

T₁₇ 星形线 \(x=a\cos^3\theta,\,y=a\sin^3\theta\) 面积 \(\dfrac{3}{8}\pi a^2\)

T₁₉ 证明 \(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln n\) 有界 —— 构造 \(\dfrac{1}{n}<\ln n-\ln(n-1)<\dfrac{1}{n-1}\) 累加

​ 证明 \(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{n}\) 有界 —— 构造 \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})<\dfrac{1}{\sqrt{n-1}}\) 累加

T₂₀ 形如 \(\lim \left(\dfrac{}{}\right)^{\frac{}{}}={\rm e}^{f(x)}\) 的题型，建议使用恒等变换取对数，而不要用重要极限（并没有证明满足 \(\lim A^B=\lim A^{\lim B}\) 的使用条件）

T₂₀ 函数求原函数，建议使用“不定积分+C”或“不定积分+\(\varphi(x)\)”，并随后求解C或\(\varphi(x)\)。不要使用定积分，以免误将下限原函数直接取成 0

T₂₁ 积分 \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{(1+x^2)^n}\,{\rm d}x\)，积分结果也是点火公式的形式

T₂₂ \(A\) 各行元素和为 \(k\Rightarrow\) 特征值与特征向量 —— 那么 \(A\) 各列元素和为 \(k \Rightarrow A^T\) 的特征值与特征向量

2022-李艳芳3(2)-3

T₈ \(r(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_n)<n\)，若 \(\alpha_1\neq0\)，则必存在 \(2\leqslant k\leqslant n\)，使得 \(\alpha_k\) 能由 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\cdots,\,\alpha_{k-1}\) 线性表示 —— 加一个向量，秩 \(+1\)

T₉ 矩阵特征值 —— 注意观察行和/列和（列和是 \(A^T\) 特征值，也就是 \(A\) 特征值），有没有成比例，迹，行列式等是否有特点

T₁₀ 又是反对称矩阵 \(A\)，核心就一条 \(x^TAx\equiv 0\)，并由此可推：① \((正定阵+\lambda A)\) 正定；② \(\left|\begin{matrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{matrix}\right|=0\)

T₁₂ 知识点：微分方程复数解也可以是重的，如 \((\lambda^2+1)^2=0\)，就有 \(i\) 和 \(-i\) 两个二重根（系数同样是 \({\rm C}_1+{\rm C}_2x\) ）

T₁₈ 处理 \(f(x,\,2x)\) 这种函数的偏导数 —— 直接对 \(x\) 求全微分

T₂₁ 中值定理证明题，除了端点、中点、极值点外，还可以考虑一个点 —— \(f(x)\) 中值点，其效果是使得 \(f(c)-f(a)=f(b)-f(c)\)

T₂₂ 线性代数大题这个证明 \((\beta,\,A\beta)\) 是方程 \(AX=XB\) 的一个可逆解，在数一中有一个更隐晦的问法：

• 确定矩阵 \(B\) ，使其与 \(A\) 相似，并求可逆矩阵，使得 \(P^{-1}AP=B\) —— 说白了这种题目就是无脑求 \(A(\beta,\,A\beta)\)