CF280C Game on Tree

CF280C Game on Tree

题意：

给定一个树，根节点为 \(1\)，对于每一个操作，等概率的选择一个尚未被删去的节点，如果这个节点被选择，其子树也被删除。

删除到一号节点时停止，求删除的期望。

分析：

设 \(f_i\) 表示点 \(i\) 被选中的次数，则根据 期望的可加性 要求的答案为：

\[E[\sum f_i]=\sum E[f_i] \]

考虑 \(i\) 号节点选择的情况为：其祖先被选择都在 \(i\) 后面，否则就不会选到它。

因为 \(i\) 节点一共有 \(dep_i-1\) 个祖先，因此 \(i\) 节点排在这个序列最前面的概率是 \(\large\frac{1}{dep[i]}\)

因此，答案就是每个点深度分之一的加和。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define db double 
using namespace std;
const db eps=1e-6;
const int N=1e5+5;
int n;
int dep[N],inv[N];
db ans;
vector<int> g[N];
void dfs(int x,int fa){
    dep[x]=dep[fa]+1;
    for(auto y:g[x]){
        if(y==fa) continue;
        dfs(y,x);
    }
}
int main(){
    cin>>n; 
    for(int i=1,x,y;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y); g[x].push_back(y); g[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans+1.0*(1.0/dep[i]);
    printf("%.6lf\n",ans);
    // system("pause");
    return 0;
}

拓展：

正好今天模拟赛做到了关于这个结论的题目，想通过这个题目拓展一下：

题意：

有一条 \(1\) 到 \(n\) 的链，给定 \(l\), \(r\) 每次从链上随机选一条边删除，如果删
除后 \(l\) 和 \(r\) 不连通就停止，否则将剩余两部分中不包含 \(l\), \(r\) 的部分去掉，求期望删除的边数（去除的部分不算删除）。

设 \([l,r]\) 区间长度为 \(len\)，则有两种情况：

1. 删除 \([l,r]\) 区间的边，则直接无了，删除其中一条边的概率为 \(\frac{1}{len}\)
2. 删除其他的边，此时，就可以看成上面一题的变式，但是，深度变成了距离这个区间的长度 \(k\)。删除这一条边的概率为 \(\frac{1}{len+k}\).

我们把整个 \([l,r]\) 区间上的边看成同一个点，那么这个点的初始深度就是 \(len\).

所以根据上面得出的结论，\([l,r]\) 的答案就是：

\[\sum_{i=len}^{l-1+len}\frac{1}{i}+\sum_{i=len}^{n-r+len}\frac{1}{i}+1 \]

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,m,inv[10000005],l,r;
int calc(int l,int r){
    return (inv[r]-inv[l-1]+mod)%mod;
}
int main(){
	freopen("divide.in","r",stdin); freopen("divide.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(inv[i]+inv[i-1])%mod;
	while(m--){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%d\n",(calc(r-l+1,r-1)+calc(r-l+1,n-l)+1)%mod);
	}
    system("pause");
    return 0;
}