网络流

网络流：

定义：

网络：

网络是指一个有向图 \(G =(V,E)\).

每条边 \((x,y) \in E\) 都有一个权值 \(c(u,v)\) ，称之为容量，当 \((u,v) \notin E\) 时有 \(c(u,v)=0\)

其中有两个特殊的点：源点 \(s\) 和汇点 \(t\), \((s\not ={t})\)

流：

设 \(f(u,v)\) 定义在二元组 \((u \in V,v \in V)\) 上的实数函数满足：

1. 容量限制：
   对于每条边，流经该边的流量不超过该边的容量，即 \(f(u,v) \leq c(u,v)\)

2. 斜对称性：
   每条边的流量与其相反边的流量之和为 \(0\) ，即 \(f(u,v)+f(v,u)=0\)

3. 流守恒性：
   从源点流出的流量等于汇点流入的流量。

那么 \(f\) 称为网络 \(G\) 的流函数，对于 \((u,v)\in E\)，\(f(u,v)\) 称为边的流量。

\(c(u,v)-f(u,v)\) 称为 边的剩余容量。

整个网络的流量为 \(\sum_{(s,v\in E)}f(s,v)\) ，即 从源点发出的所有流量之和

一般来说也可以把网络流理解为整个图的流量，这个流量满足上述三个性质。

常见问题：

最大流：

我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量 (可以有很多条路到达汇点).

最小费用最大流：

每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。

最小割:

最小割就是割掉 \(X\) 条边来让 \(S\) 跟 \(T\) 不互通。我们要求 \(X\) 条边加起来的流量总和最小。

问题详解：

最大流：My Blog

最小割：My Blog

最小费用最大流：My Blog