期望
期望：
符号/定义：
概率：
\(P(A)\) 表示事件 \(A\) 发生的概率：
-
对于离散的情况，假设一共有 \(n\) 种情况均匀随机，其中 \(m\) 种使得事件 \(A\) 成立，那么 \(P(A)=\frac{m}{n}\) 。
因此，概率在很多情况下可以看成是计数。
直接考虑概率也有优点，相当于约掉了很多东西，更方便处理问题。 -
对于连续情况，我们可以使用面积/体积的比来计算概率。
期望：
对于随机变量 \(x\) , \(E(x)\) 表示 \(x\) 的期望：
-
对于离散的情况，它的值就是 每一种可能的值乘以对应概率
如：扔一个标准的骰子，朝上的点数的期望是： \(1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+....+6 \times \frac{1}{6}=3.5\)
此时也可以认为它的值是：所有方案的和 \(/\) 总方案数 -
对于连续的情况，我们可以使用积分手段计算期望。
基础知识：
概率：
当 \(A,B\) 独立时：
- \(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)\)
- \(P(A \cup B)=P(A) + P(B)\)
\(P(A|B)\) 表示条件概率，即：我们假设 \(B\) 已经发生的条件下， \(A\) 多少概率发生。
若 \(A_1,A_2,A_n\) 恰好能覆盖所有情况，对于事件 \(B\) ,\(P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i)\)
相当于是分类讨论，先按 \(A\) 分类，看 \(B\) 在这个条件下多少概率出现。
期望：
当 \(x,y\) 独立，\(E(x+y)=E(x)+E(y)\)
同时，如果 \(x,y\) 前有对应常数，也可以这样拆开，并把常数放在期望值 \(E\) 前。
在实际使用时，可以考虑拆成贡献的形式，然后对于每一个贡献独立线性，加起来。
概率性质：
- 设 \(\overline{A}\) 表示 \(A\) 不发生，则：
-
设 \(P(B-A)\) 表示发生 \(B\) 同时不发生 \(A\)：
若 \(A\) 包含在 \(B\) 中，则有：\[P(B-A)=P(B)-P(A) \]对任意两个事件，则有：
\[P(B-A)=P(B)-P(A \cap B) \] -
对任意两个事件 \(P(A),P(B)\), 有公式：
\[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) \]该公式可以通过第一个公式代入获得。
全期望公式：
表示在满足 \(X= \alpha\) 这个条件 \(A\) 下 \(Y\) 这个事件的期望。
\(I(X)\) 表示事件 \(Y\) 的几种情况。
例子：
问题 \(1\)：
一棵树有 \(n\) 个点, 将 \([1,n]\) 的排列随机填入每个节点，整棵树构成小根堆的概率有多大？
构成小根堆的定义是：根节点的数是子树内最小，因此计算 \(s_i\) 为 \(i\) 的子树大小，相乘即为答案，则答案就是 \(\prod_i s_i^{-1}\) 。
期望的性质：
对于非负实数变量 \(x\)，我们有 \(E(X)=\int_0^{\infty} P(X \geq x)\,dx\)
对于离散型变量，我们有 \(E(X)=\sum_1^{\infty} P(x \geq x)\)
期望具有线性： \(E(aX+b)=aE(x)+E(b)\)
例题：
树形 \(dp\) + 期望好题，很值得做。
矩阵树定理，但需要式子的转化
