斯坦纳树

斯坦纳树

定义：

最小斯坦纳树，就是花费最少的代价，联通给定的 \(k\) 个关键点。

感觉有点像迪杰斯特拉，但是又不太一样。

引入：

用一道例题引入：

[模板] 最小斯坦纳树

参考：ix35题解

这个问题可以用 状压 \(DP\) 来解决，发现一个结论：

答案的子图一定是树

证明：如果答案存在环，则删去环上任意一条边，代价变小。

我们为这颗树钦定一个树根，设 \(dp[i][S]\) 表示以 \(i\) 为根的一棵树，包含集合 \(S\) 中所有点的最小代价。

考虑转移：一棵以 \(i\) 为根的树有两种情况：

1. \(i\) 的度数等于 \(1\).
2. \(i\) 的度数大于 \(1\).

第一种： 枚举树上与 \(i\) 相邻的点 \(j\):

\[dp[j][S]+w[j][i] \rightarrow dp[i][S] \]

第二种：划分成几个子树考虑：

\[dp[i][T]+dp[i][S-T] \rightarrow dp[i][S] (T \in S) \]

这里的转移顺序，可以理解成一个类似背包的 \(DP\) ，与 \(i\) 相邻的点是一个个出现的，每次多合并上一个点，所以按 \(S\) 升序枚举即可。

具体实现过程：

第一种： 考虑到最短路模型的三角形不等式( \(dij\) ) ,对于每一个 \(S\) ，将图做一次松弛操作即可。

第二种： 枚举子集，时间复杂度为 \(O(n \times 3^k)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define mk make_pair
#define pii pair<int,int>
const int N=1e3+5;
int n,m,k;
int nxt[N],edge[N],tot,ver[N],head[N];
int vis[N],p[N];
int dp[N][4005];
priority_queue<pii > q;


void add(int x,int y,int z){
    ver[++tot]=y; nxt[tot]=head[x]; head[x]=tot; edge[tot]=z;
}

void dijkstra(int s){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    while(!q.empty()){
        pii a=q.top(); q.pop();
        if(vis[a.second]) continue;
        vis[a.second]=1;
        for(int i=head[a.second];i;i=nxt[i]){
            int y=ver[i],z=edge[i];
            if(dp[y][s]>dp[a.second][s]+z){
                dp[y][s]=dp[a.second][s]+z;
                q.push(mk(-dp[y][s],y));
            }
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z); add(y,x,z);
    }
    for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&p[i]),dp[p[i]][1<<(i-1)]=0;
    //对应点对应S里的标号
    for(int s=1;s<(1<<k);s++){//枚举每个点是否选择
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int subs=s&(s-1);subs;subs=s&(subs-1))
                dp[i][s]=min(dp[i][s],dp[i][subs]+dp[i][s^subs]);
            //s&(s-1) 表示
            if(dp[i][s]!=0x3f3f3f3f)  q.push(mk(-dp[i][s],i));
            //枚举每个点作为根的情况
        }
        dijkstra(s);
    }
    printf("%d\n",dp[p[1]][(1<<k)-1]);
    system("pause");
    return 0;
}