数位DP
数位dp
特点：
- 数据范围贼大
- \(O(n)\) 算法绝对不行
- 看上去很套路，统计各种数在序列中出现的个数或者之类的。
引入：
数位 \(dp\) 解决的是什么问题呢？
一般来说：求出在给定区间中，符合条件 \(f(i)\) 的数 \(i\) 的个数，条件 \(f(i)\) 一般和数的大小没关系，和数的组成有关。
数的大小对复杂度的影响很小。
设计搜索
利用记忆化搜索。
一.记忆化搜索过程：
对于 \([l,r]\) 区间，我们转化成 \([1,l],[1,r]\) 区间求解/
从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层一层返回答案，累计到起点即得到答案。
二.状态设计：
我们思考一下 \(dfs\) 过程中需要哪些参数？
- 数字位数 \(pos\) ,记录答案的 \(sum\),最高位限制 \(limit\)
- 我们还需要一个判断前导 \(0\) 的标记 \(lead\)
- 数位 \(dp\) 解决的是数字组成问题，因此要记录一下前几位 \(pre\),方便比较。
- 又还需要其他参量，根据题意设置。
总结一句话：数位 \(dp\) 的状态能记录的就都记录上。
分析细节：
一.前导零标记 \(lead\):
由于我们要搜索的数字很长，所以我们需要从最高位开始搜。
举个例子：假如我们要从 \([0,1000]\) 找任意相邻两数相等的数：
显然 \(111,222,888\) 等等是符合题意的数。
但是我们发现右端点 \(1000\) 是四位数。
因此我们搜索的起点是 \(0000\)，而三位数的记录都是 \(0111,0222,0888\) 等.
而这种情况下如果我们直接找相邻位相等则 \(0000\) 符合题意而 \(0111,0222,0888\) 都不符合题意了
所以我们要加一个前导 \(0\) 标记
如果当前位 \(lead=1\) 而且当前位也是 \(0\) ，那么当前位也是前导 \(0\) ，\(pos+1\) 继续搜；
如果当前位 \(lead=1\) 但当前位不是 \(0\)，则本位作为当前数的最高位，\(pos+1\) 继续搜；（注意这次根据题意 \(sum\) 或其他参数可能发生变化）
如果是关于数字的结构，那么需要记录前导零，如果只是组成的话，前导零并不影响我们的判断。
二.最高位标记 \(limit\):
我们知道在搜索的数位搜索范围可能发生变化：
举个例子：我们在搜索 \([0,555]\) 的数时，显然最高位搜索范围是 \([0,5]\)，而后面的位数的取值范围会根据上一位发生变化：
- 当最高位是 \([1,4]\) 时，第二位取值为 \([0,9]\);
- 当最高位是 \(5\) 时，第二位取值为 \([0,5]\) （再往上取就超出右端点范围了）
为了分清这两种情况，我们引入了 \(limit\) 标记：
- 若当前位 \(limit=1\) 而且已经取到了能取到的最高位时，下一位 \(limit=1\)；
- 若当前位 \(limit=1\) 但是没有取到能取到的最高位时，下一位 \(limit=0\)；
- 若当前位 \(limit=0\) 时，下一位 \(limit=0\) 。
我们设这一位的标记为 \(limit\) ，这一位能取到的最大值为 \(res\)，则下一位的标记就是 \(i=res \& \& limit\) （\(i\)枚举这一位填的数）
三.\(dp\) 值的记录和使用
最后我们考虑 \(dp\) 数组下标记录的值
本文介绍数位 \(dp\) 是在记忆化搜索的框架下进行的，每当找到一种情况我们就可以这种情况记录下来，等到搜到后面遇到相同的情况时直接使用当前记录的值。
\(dp\) 数组的下标表示的是一种状态，只要当前的状态和之前搜过的某个状态完全一样，我们就可以直接返回原来已经记录下来的 \(dp\) 值。
举个例子：
假如我们找 \([0,123456]\) 中符合某些条件的数
假如当我们搜到 \(1000??\) 时，\(dfs\) 从下返上来的数值就是当前位是第 \(5\) 位，前一位是 \(0\) 时的方案种数，搜完这位会向上反，这是我们可以记录一下：当前位第 \(5\) 位，前一位是 \(0\) 时，有这么多种方案种数.
当我们继续搜到 \(1010??\) 时，我们发现当前状态又是搜到了第 \(5\) 位，并且上一位也是 \(0\)，这与我们之前记录的情况相同，这样我们就可以不继续向下搜，直接把上次的 \(dp\) 值返回就行了。
注意，我们返回的 \(dp\) 值必须和当前处于完全一样的状态，这就是为什么 \(dp\) 数组下标要记录 \(pos,pre\) 等参量了。
但是否所有情况都是这样满足呢？答案是否定的。
接着上面的例子，范围 \([0,123456]\)
如果我们搜到了 \(1234??\)，我们能不能直接返回之前记录的：当前第 \(5\) 位，前一位是 \(4\) 时的 \(dp\) 值？
我们发现，这个状态的 \(dp\) 值被记录时，当前位也就是第 \(5\) 位的取值是 \([0,9]\)，而这次当前位的取值是 \([0,5]\)，方案数一定比之前记录的 \(dp\) 值要小。
当前位的取值范围为什么会和原来不一样呢？
如果你联想到了之前所讲的知识，你会发现：现在的 \(limit=1\)，最高位有取值的限制。
因此我们可以得到一个结论：当 \(limit=1\) 时，不能记录和取用 \(dp\) 值！
类似上述的分析过程，我们也可以得出：当 \(lead=1\) 时，也不能记录和取用 \(dp\) 值！
模板：
ll dfs(int pos,int pre,int sum,……,int lead,int limit){
if(pos>len) return sum;//剪枝
if((dp[pos][pre][sum]……[……]!=-1&&(!limit)&&(!lead))) return dp[pos][pre][sum]……[……];//记录当前值
ll ret=0;//暂时记录当前方案数
int res=limit?a[len-pos+1]:9;//res当前位能取到的最大值
for(int i=0;i<=res;i++){
//有前导0并且当前位也是前导0
if((!i)&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
//有前导0但当前位不是前导0，当前位就是最高位
else if(i&&lead) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
else if(根据题意而定的判断) ret+=dfs(……,……,……,i==res&&limit);
}
if(!limit&&!lead) dp[pos][pre][sum]……[……]=ret;//当前状态方案数记录
return ret;
}
ll part(ll x){//把数按位拆分
len=0;
while(x) a[++len]=x%10,x/=10;
memset(dp,-1,sizeof dp);//初始化-1（因为有可能某些情况下的方案数是0）
return dfs(……,……,……,……);//进入记搜
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld",&l,&r);
if(l) printf("%lld",part(r)-part(l-1));//[l,r](l!=0)
else printf("%lld",part(r)-part(l));//从0开始要特判
}
return 0;
}
例题：
P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S
题意：
给定区间 \([l,r]\) ，求出区间内每个数在二进制表示下 \(0\) 的个数不小于 \(1\) 的个数的 数的 数量。
这道题几乎就是数位 \(dp\) 的模板题：我们只需要判断在 \([1,l-1]\) 和 \([1,r]\) 的长度下计算，然后容斥就可以。
接下来是代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int l,r;
int a[50],len,f[105][105],vis[105][105];
int dfs(bool limit,bool lead,int pos,int cha){
if(pos==0) return cha>=30;//0比1多返回 1，否则返回0，一开始初始是30（考虑到会成负数的情况）
if(!limit&&!lead&&vis[pos][cha]) return f[pos][cha];
int res=0,top=limit?a[pos]:1;
for(int i=0;i<=top;i++){
res+=dfs(limit&(i==a[pos]),lead&(i==0),pos-1,cha+(i==0?(lead?0:1):-1));
}
if(!limit&&!lead) vis[pos][cha]=1,f[pos][cha]=res;
return res;
}
int solve(int x){
for(len=0;x;x/=2) a[++len]=x%2;
return dfs(1,1,len,30);
}
int main()
{
cin>>l>>r;
cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl;
system("pause");
return 0;
}
P2602 [ZJOI2010]数字计数
这道题同样也算是一道模板题：
题意：
计算 \([l,r]\) 区间内 \(0-9\) 出现的个数。
这道题也算是比较好做，我们只需要对于 \(0——9\) 进行枚举，在 \(dfs\) 中传一个变量来表示当前要搜索的值，进行搜索就可以了。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll l,r;
ll dp[105][105][2][2],len,a[105];
ll dfs(bool limit,bool lead,int pos,int sum,int now){
if(pos==0) return sum;
if(dp[pos][sum][limit][lead]!=-1) return dp[pos][sum][limit][lead];
ll res=0,top=limit?a[pos]:9;
for(int i=0;i<=top;i++){
res+=dfs(limit&(i==a[pos]),lead&(i==0),pos-1,sum+((!lead||i)&&(i==now)),now);
}
dp[pos][sum][limit][lead]=res;
return res;
}
ll calc(ll x,int now){
for(len=0;x;x/=10) a[++len]=x%10;
memset(dp,-1,sizeof(dp));
return dfs(1,1,len,0,now);
}
int main()
{
cin>>l>>r;
for(int i=0;i<10;i++){
cout<<calc(r,i)-calc(l-1,i)<<" ";
}
cout<<endl;
system("pause");
return 0;
}
总结：
-
数位 \(dp\) 要想做好，最重要的就是 \(dfs\) 状态的设计。一般来说，需要用到位运算和前导零之类的数据。只要我们设计好状态转移，数位 \(dp\) 这个看上去玄学的东西都是比较好解决的。
-
如果遇到数位相加，可以把一个数看成 \(9\) 个以内若干个 \(1\) 的后缀相加而成。
