SG函数
\(SG\) 函数
本文借鉴了自为风月马前卒的博客
基本定理：
\(ICG\) 游戏：
- 游戏两人轮流，并且决策最佳
- 无法决策时游戏结束，并且在有限步内结束。
- 同一个状态不能多次表达，且没有平局出现。
- 游戏者在任意状态做出的决策和自己无关，只与当前状态有关。
满足以上条件就为 \(ICG\) 游戏，属于组合游戏。
\(nim\) 游戏就是一种 \(ICG\) 游戏。
必胜和必败：
- 无法移动的状态为必败 \(P\)
- 可以移动到必败( \(P\) )的局面为必胜( \(N\) )
- 所有移动都会进入 \(N\) 的局面为 \(P\).
\(DAG\) 中的博弈
定义：给定一张有向无环图，起始点有一个棋子，轮流挪动，不能移动的人算输。
事实上，所有的 \(ICG\) 游戏都可以抽象成为这种游戏。
即把一个状态向另一个状态连边,判断状态合法性
正式介绍：
对于给定的有向无环图，定义每个点的 \(SG\) 函数为：
\(mex\) 就是最小的不属集合的非负整数。
性质：
- 所有汇点的 \(SG\) 函数为 \(0\)，因为所有汇点后继状态都是空集。
- \(SG(x)=0\) 该节点为必败点。
此性质决定了该节点后继节点 \(SG\) 值不为 \(0\),满足必败点定义 - \(SG(x)!=0\) 该节点为必胜点。
此性质决定了该节点的后继节点中一定有一个节点 \(SG(y)=0\) ,满足必胜点定义。
这个问题实际上就是巴什博弈。
推导：
如果这个棋盘上有 \(n\) 个棋子的时候呢？
我们当 \(SG(x)=k\) 表明后继状态有 \(SG(y)=[1,k-1]\)
也就是说，我们从 \(k\) 可以转移到 \([1,k-1]\) 的任何一个状态，当前共有 \(n\) 个棋子。
是不是像 \(nim\) 游戏？
因此，在 \(nim\) 游戏中，\(SG\) 函数异或值不为零，就先手必胜。
推广：
我们设想：游戏的和的 \(SG\) 值是他们 \(SG\) 值的异或和。
我们可以将所有的 \(ICG\) 问题对应到 \(DAG\) 上，然后通过 \(SG\) 函数之间的转移解决所有问题。
所以说当我们面对由 \(n\) 个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法，就可以把这些 \(SG\) 值全部看成 \(Nim\) 的石子堆，
然后依照找 \(Nim\) 的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！（ \(Nim\) 其实就是 \(n\) 个从一堆中拿石子的游戏求 \(SG\) 的变型，总 \(SG = n\) 个 \(sg\) 的异或.
解题模型：
把原游戏分解成独立的子游戏，原游戏的 \(SG\) 函数值是它所有子游戏的 \(SG\) 函数值异或和。
考虑分别设计每一个子游戏：
计算方法：
- 可选步数为 \([1,m]\) 的连续整数，直接取模即可 \(SG(x)=x\%(m+1)\)
- 可选择步数为任意步 \(SG(x)=x\)
- 可选步数为一系列不连续的数，用模板计算。
模板
- 打表
//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N],sg[N],hash[N];
void getSG(int n){
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(int j=1;f[j]<=i;j++)
hash[sg[i-f[j]]]=1;
for(int j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数
if(hash[j]==0){ sg[i]=j; break;}
}
}
- \(DFS\)
//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[110],sg[10010],n;
int SG_dfs(int x){
int i;
if(sg[x]!=-1) return sg[x];
bool vis[110];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0;i<n;i++)
if(x>=s[i]){
SG_dfs(x-s[i]);
vis[sg[x-s[i]]]=1;
}
int e;
for(int i=0;;i++)
if(!vis[i]){ e=i; break; }
return sg[x]=e;
}
- 计算：
如果 \(SG(x)=0\) ，就先手必败。
例题：
每组石子是一个相对独立的游戏，对于每组两堆石子的个数暴力计算SG函数并打表.
发现后继状态 \(SG\) 值集合 \(S\) 用二进制表示的结果为 \((x_1−1)|(x_2−1)\)。
因此，通过 \(SG\) 函数的性质，即可算出这道题。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n;
int main(){
cin>>T;
while(T--){
cin>>n; n>>=1;
int sg=0;
for(int i=0,x,y;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
int s=(x-1)|(y-1),mex=0;
for(;s&1;s>>=1) mex++;
sg^=mex;
}
puts(sg?"YES":"NO");
}
system("pause");
return 0;
}
