Polya(置换)

Polya定理

本篇文章并不是详细讲解，而是加深自己的记忆

群：

群的定义： 集合 \(G\) 和作用于集合 \(G\) 的二元计算 \(×\)，满足以下 \(4\) 个性质就记为 \((G,×)\)。

1. 封闭性：\(a,b∈G\), \(a × b∈G\)
2. 结合律：$ (a\times b)\times c = a\times (b\times c)$
3. 单位元: 存在 \(e∈G\) ，满足对于任意 \(a\in G\) 有： \(a\times e = e\times a = a\) ,此时 \(e\) 被称为单位圆。乘法运算就是一个群。
4. 逆元：对于任意 \(a\in G\) 存在 \(a'\in G\) 满足 \(a\times a' = a'\times a = e\) ,此时 \(a'\) 唯一。

子群：

分为左陪集，右陪集。

陪集性质：

1. \(\forall g\in G,|H|= |Hg|\)
2. \(∀g∈G，g\in Hg\)
3. \(Hg = H\iff g\in H\)
4. \(Ha=Hb⟺a×b^{−1}∈H\)
5. \(Ha∩Hb\neq∅→Ha=Hb\)
6. \(H\) 的全体右陪集的并为 \(G\)

左陪集同理,证明省略2。

比较常见的表述：

若 \(H≤G\)，则 \(G/H\) 代表 \(G\) 中所有的 \(H\) 的左陪集即 \(\{gH,g\in G\}\)
若 \(H≤G\)，则 \([G:H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的不同的陪集的数量

拉格朗日定理：

\[∣H∣×[G:H]=∣G∣ \]

置换：

定义：

双行表示 \(\sigma\) 法：表示从上列 \(a\) 到下列 \(b\) 的置换，表示用第 \(a_i\) 个元素替换第 \(b_i\) 个元素。

\[σ=(a_1,a_2...a_n) \]

表示一个置换

每个置换就是一个这样的排列,一个长度为 \(n\) 的不同的置换数量为 \(n!\).

运算:

表示为 \(\sigma(a)\),运算规则为： \(\sigma(a)=(a_{\sigma1},a_{\sigma2}...a_{\sigma n})\)

我们称呼为置换的合成。

置换群：

我们令群 \(G=(M,×)\) ,其中 \(M\) 为 \(N={1,2,3...n}\) 集合的若干个排列构成的集合，此时若 \(G\) 满足群的性质，\(G\) 就是一个置换群。

群作用：

分为左群作用和右群作用:

对于一个集合 \(M\) 和群 \(G\)：

若给定了一个二元函数 \(\phi(v,k)\) ，其中 \(v\) 为群中的元素， \(k\) 为集合元素，有：

\[\phi (e,k)=k(e) \]

\[\phi(g,\phi(s,k))=\phi(g \times s,k) \]

其中 \(e\) 为单位元，则群 \(G\) 作用于集合 \(M\).

轨道-稳定子定理

轨道-稳定子定理

Burnside 定理

定义 \(G\) 为一个置换群，定义其作用于 \(X\), 如果 \(x,y\in X\) 在 \(G\) 作用下可以相等，即存在 \(f\in G\) 使得 \(f(x)=y\) ,则定义 \(x,y\) 属于一个等价类，则不同的等价类的数量为：

\[|X/G|=\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} X^g \]

\(X^g\) 为 \(X\) 在 \(g\) 作用下的不动点的数量，即满足 \(g(x)=x\) 这样的 \(x\) 的数量。

文字版：\(X\) 在群 \(G\) 作用下的等价类总数等于每一个 \(g\) 作用于 \(X\) 的不动点的算数平均值。

综上，就得到了 \(Burnside\) 定理。

本质不同的 \(n\) 个点的环可以看作：

在群 \(G\) 为 { 旋转 \(0\) 个，旋转 \(1\) 个...旋转 \(n−1\) 个 } 这些置换作用下得到的等价类的数量。

同时我们定义集合 \(M\) 为 \(\{1\to n\}\) 的所有可能排列表示初始的环。

答案就为：

\[ans=\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} M^g \]

旋转 \(0\) 个的不动点为 \(n^n\) ，即所有集合都合法。

对于旋转 \(k\) 个，\(gcd(k,n)\) 随意取，贡献为 \(n^{gcd(k,n)}\)

答案就是：

\[\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n n^{gcd(k,n)} \]

枚举 \(gcd\) ,再运用欧拉函数，得到：

\[\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d \phi(\frac{n}{d}) \]

暴力计算即可算出。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
int T,n;
int qmi(int a,int b){
    int res=1; while(b){if(b&1) res=res*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1;} return res;
}
int phi(int x){
    int ans=x;
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
        if(x%i) continue;
        ans=ans-ans/i;
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x!=1) ans=ans-ans/x;
    return ans;
}
signed main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n; int cnt=sqrt(n),ans=0;
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            if(n%i) continue;
            int p1=phi(i),f1=qmi(n,n/i);
            f1=f1*p1%mod; ans=(ans+f1)%mod;
            if(i*i!=n){
                int p2=phi(n/i),f2=qmi(n,i);
                f2=f2*p2%mod; ans=(ans+f2)%mod;
            }
        }
        cout<<ans*qmi(n,mod-2)%mod<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}