二分+三分专题与边界处理

由于本人经常被二分与三分的各种细节卡死，所以记录一下。 二分如果出错了，注意查看二分的初始范围、二分的判断条件、L/R的赋值、最终二分得到的结果等。有时候二分错误并不是因为二分细节问题，而是题目存在边界，需要特判。

 

二分：

目前常用的二分有3种写法，区别在于：①闭区间或左闭右开区间  ②退出条件时l==r？或l==r+1

（1）写法一，左闭右开/左开右闭区间，最终l==r 

int l = 1, r = n + 1, mid; // 对应区间 [l, r)

// 这种写法最后求出的是最左边的合法的点
while (l < r) {
  mid = (l + r) >> 1;
  if (OK(mid)) r = mid;  // 如果mid是OK的，区间变为[l,mid]
  else l = mid + 1;  // 否则变为[mid+1,r]
}

// 这种写法求出的是最右边的合法的点
int l = 0, r = n, mid; // 对应区间 (l, r]
while (l < r) {
  mid = (l + r + 1) >> 1;
  if (OK(mid)) l = mid;
  else r = mid - 1;
}

个人比较习惯使用这种方法。

1. 上面给出两种写法，区别就：$mid$ 已经是合法的了，但是希望找到 更小/更大 的 $ans$。所以在写代码的时候，就可以关心于 $check \space mid$ 的值是不是合法的，然后选择让他变大还是变小。

2. 还有一个细节就是初始区间。以左闭右开为例，二分可能会枚举到的范围只有：$[l,r-1]$，所以不用担心 $r$ 合不合法。如果不断变大，最后 $l$ 和 $r$ 都变成右边界。   

 

（2）写法二，闭区间，最终l==r+1，但是碍于边界问题正确的答案应该是$l$ 。

// 目标：找到等于target的位置
int l = 1, r = n, mid; // 对应区间 [l, r]

// 这种写法求出最左边的合法的位置
while (l <= r) {
  mid = (l + r) >> 1;
  if (a[mid] < target) l = mid + 1;   // a[mid]<target不合法，所以l=mid+1
  else r = mid - 1;                   // 否则a[mid]>=target,r=mid-1
}                                     // 最后最左边的合法位置是 l

// 这种写法求出最右边的合法的位置
while (l <= r) {
  mid = (l + r) >> 1;
  if (a[mid] > target) r = mid - 1;   // a[mid]>target不合法，所以r=mid-1
  else l = mid + 1;                   // 否则a[mid]<=target,l=mid+1
}                                     // 最后最右边的合法位置是 r

比如说： $a = {1,3,3,5}$。

例一：我们模拟在 $a$ 数组中找 $100$ ，那么肯定返回的是 $l == 5 , r == 4$

　　搜索过程： $l=1,r=4,mid=2$ -> $l=3,r=4,mid=3$ -> $l=4,r=4,mid=4$ -> $l=5,r=4,break$。

例二： 如果找 $0$的话，按上面过程，得出的就是 $l=1,r=0$ ，如果是 $lowerbound$ ，那么l=1无疑是对的。

例三：如果我们找的是3呢？ 【假设相等时，令r=mid-1】

　　搜索过程： $l=1,r=4,mid=2$ -> $l=1,r=1,mid=1$ -> $l = 2,r=1,break$ 这时的结果仍然是 $lowerbound$ 的

　　但是我们如果 $a[mid] == target$ 时，让 $l = mid + 1$ 会怎么样？

　　搜索过程：$l=1,r=4,mid=2$ -> $l = 3,r = 4,mid = 3$ -> $l = 4,r = 4,mid = 4$ -> $l=4,r=3,break$

这个时候结果就是 $upperbound$ 了，所以使用这种方法时，一定要特别注意等号的位置。 

但你时常会见到这样的写法：其中的 $INIT\_ANS$ 取决于如果搜不到合法值，你必须设定的值。

int l = 1, r = n, mid, ans = INIT_ANS;
while (l <= r) {
  mid = (l + r) / 2;
  if (ok(mid)) ans = mid, l = mid + 1;
  else r = mid - 1; 
}
cout << ans << endl;

 

 

（3）写法三，闭区间，最终 l + 1 == r ，也就是说，区间内剩下两个数就退出了

while(l + 1 < r) {
  mid = (l + r) >> 1;
  if(OK(mid)) r = mid;
  else l = mid;
}

这三种写法各有优略，第一种是 $stl$ 的 $lower_bound$ 使用的，第二种是一种比较稳妥的方法，但是第三种能维护的东西是前两者不能维护的。

比如说：有些题目就是维护间隔的信息，那么应该使用第三种写法。因为 $[ mid-1 , mid, mid+1 ]$ 三个数之间有两个间隔，我们要舍去另一半的时候，我们应该舍去的是间隔，而不是mid。若舍去的是$[mid-1, mid]$ ，应该保留的是 $[mid, mid+1]$ 。所以最后区间剩下的是两个数，也就是一个间隔。【这道题就是这么做的：LINK （欧拉序 + 二分） 其它写法也可做】

 

参考资料：知乎-二分查找有几种方法?

比较喜欢文章里面的一句话：二分无非就是寻找到 $lower\_bound - 1 、lower\_bound 、 upper\_bound - 1 、 upper\_bound$ 四个值中的一个。 

 

 

实数二分

如果设置精度eps=1e-9，然后最大值达到1e9的话，double/longdouble都是无法精确表示1e18的（这一点可以根据IEEE浮点数了解一下）。

正是因为精度太低的时候无法精确表示，有时候会被卡死循环。【虽然我的写法没被卡过。。。】

while (l + eps < r) {
    mid = (l + r) / 2.0;
    if (ok(mid)) l = mid;
    else r = mid - eps;
} // 我的奇怪写法

所以二分的时候不应该卡精度，而应该卡次数进行二分。

关于这个二分的次数怎么选择：

（1）看看整数部分最大会出现到多大，如果是1e18，整数部分就需要64次左右的二分的

（2）再看看小数点后面需要多少次，如果精度是1e-9，那么至少要 32次。

总的来说，100次完全足够了，如果题目卡时间，可以进一步减少二分次数。

// 精度为 1e-8
  auto ok = [&](double mid) { return mid <= 1 + 1e-8; };
  double l = 0.0, r = 1e9, mid;
  for (int i = 1; i <= 100; i++) {
    mid = (l + r) / 2.0;
    if (ok(mid)) l = mid;
    else r = mid;
  }
  // 输出 1.00000001 1 + 1e-8
  cout << fixed << setprecision(8) << l << endl;

 

三分：注意三分一定是严格单调的，不能有相等的情况。

 这个三分的常数有点高的，如果题目卡常，有可能会G。

常见问题：

（1）三分死循环 - 记得 l=lmid+1，r=rmid-1，因为(r-l)<3的时候，lmid和rmid都等于L、R，如果不加减1，就会G掉。

（2）三分得到的L、R到底哪个才是答案 - 下面的板子得到的L==R

（3）三分得到的L、R到底是峰值的最左侧还是峰值的最右侧 - 这个需要根据if-else的等号进行分析 

int l = 1, r = n, lmid, rmid, ans = INF;
while (l < r) {  // 这里可以不加等号吗？(有些题目不加等号可以通过，但是具体不清楚)
  lmid = l + (r - l) / 3;
  rmid = r - (r - l) / 3;
  // 这里加等号，三分完之后的L就是峰值的最右侧的位置，如果不加，就是最左侧的位置
  if (value(lmid) <= value(rmid)) l = lmid + 1, ans = min(ans, value(lmid));
  else r = rmid - 1, ans = min(ans, value(rmid));
}
return l or r;  // 如果while循环里面不加等号，最后一定会有l==r

 

如果令 $L <= R$ 为循环条件，返回 L 一般都是正确的。