拓扑和庞加莱

庞加莱，定性，拓扑，拓扑更本质

他是继高斯之后，对于数学及其应用（理论物理、电磁理论、动力学、流体力学和天文学等）具有全面知识的最后一人，他就是二十世纪初的领袖数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）。但与高斯截然不同的是，庞加莱并不擅长计算，甚至一度为计算而犯怵。他究竟是如何做到避免繁杂的计算，却又能在各个数学分支做出重要贡献的？

1854年，庞加莱出生于法国南锡一个显赫的家族，他的堂弟雷蒙·庞加莱在一战期间担任法国总统。他的父亲是医学教授，但对小庞加莱糟糕的身体状况却无能为力。庞加莱从小视力很差，且身体不协调，常常显得精神恍惚。他因看不清老师的板书，无法记笔记，这也许是他不擅长计算的原因之一。然而他却具备了极强的思维能力和惊人的记忆力，上课时他只要听过，就能记住。他从小受母亲启蒙，8岁就进入南锡中学，因数学天赋被老师称为“数学怪兽”。

1873年，19岁的庞加莱以第一名考入当时数学最好的学校——巴黎综合理工学院，师从埃尔米特。六年后（1879年），他发表了与微分方程相关的博士论文《关于偏微分方程所定义的函数的性质》（On the Properties of Functions Defined by Partial Differential Equation），然而他的研究并不是去解具体的微分方程，而是定性地找寻微分方程有解的条件。

曾经代数方程的发展历程给了他很大的启示，解决五次方程求解问题的伽罗瓦，并没有去找具体的代数方程解法，而是发展出了更抽象的群论，找到了代数方程有根式解的条件。庞加莱关于微分方程是否有解，也给出了定性的理论。他提出了自守函数，并结合这类函数投影曲面的拓扑不变量（贝蒂数）进行研究，发现当它们满足一定条件时，某类线性微分方程可以借助自守函数来求解。

1887年，庞加莱赢得了瑞典国王赞助的一场数学竞赛，一时间被当做了民族英雄。他的得奖论文说明了三体问题无解析解，这是一个基于物理学的微分方程问题。三体问题会产生由18个一阶微分方程构成的方程组，庞加莱发现物理学上的守恒量只能降低12个自由度，不足以将这个微分方程组化简为常函数，因此没有解析解。一年后（1888年），庞加莱在修改这篇论文的过程中，发现三体问题更深层次的本质——非线性，他的这一发现被认为是混沌理论的开端。

庞加莱曾说过，他思考过的每一个问题都将他导向《位置分析学》（Analysis Situs）”。《位置分析学》是庞加莱在1895年发表的一篇重要论文，在接下来的十年里，他关于这个主题又发表了五篇续作，标志着组合拓扑学的诞生。拓扑学又被称为“橡皮几何学”，研究在连续变化下保持不变的几何性质，关于拓扑的研究往往是定性而非定量的，而这正是庞加莱所擅长的。比如欧拉示性数（一个几何体的顶点数-棱数+面数的值，V-E+F=2）是重要的拓扑不变量，而庞加莱将其推广到了高维，提出了贝蒂数。

1900年，庞加莱基于贝蒂的工作发展出了同调论（Homology Theory），这也成为拓扑学中分析流形的基本方法，用它可以判定一个三维流形是否同胚于三维球面。这就是1904年庞加莱提出的著名猜想——庞加莱猜想：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。可以毫不夸张地说，二十世纪三十年代初之前的拓扑学研究几乎全部来自庞加莱的工作。

庞加莱在物理学上也有重要贡献。1905年6月5日，庞加莱发表了他第一篇关于相对论的论文《论电子动力学》，结合他一个月后的论文，他不但在数学上完善了洛伦兹变换，而且在事实上已经推出了狭义相对论，这甚至比爱因斯坦的论文还早25天（爱因斯坦于1905年6月30日发表《论动体的电动力学》）。由于庞加莱太过专注数学上的推导，用了李群等一些当时物理学家闻所未闻的数学工具，在形式上不好理解。再加上他谦虚的个性，将物理学上的启示都归功于洛伦兹，而洛伦兹本人并不认同相对论，这令庞加莱与相对论失之交臂。直到16年后（1921年）爱因斯坦在公开演讲中才承认了庞加莱在相对论中的贡献。

1911年第一届索尔维会议上可见庞加莱的学术地位庞加莱对数学有着非凡的直觉与强大的想象力，他甚至不在意严格性与逻辑性，他认为这些都是对创造力的制约。也许这就是他不喜欢机械化定量计算，而热衷于开创性定性探索的原因。

庞加莱在数学上的工作，可以归结为：拓扑学观点下的数学。也就是在流变的表象之下寻找不变量。

庞加莱虽然视力有障碍，但却能见到常人所不能见的本质。当时数学主要的分支为：分析、代数与几何，而他用拓扑将三大分支联系在了一起，难怪他能成为史上最后一位数学全才。他曾放出豪言：“科学家研究大自然并不是因为有用，他的研究出于喜爱，他的喜爱则出于美。假若大自然不是美的，则它不值一探；而假若大自然不值一探，则人生也不值一过。”