学习数学的路线

转载非数学专业想自学数学，大佬们有什么建议吗？ - 雪王爱数学的回答 - 知乎

分析学是研究函数积分和算子和微分方程的，代数学是研究运算结构的，几何学和拓扑学是研究空间的。

首先一开始的要先学数学分析，高等代数，抽象代数。接着数学分析学完后就学复分析，点集拓扑，再接着学微分流形（前置数学分析和高等代数和点集拓扑）和代数拓扑（前置点集拓扑和抽象代数），这些属于纯数学最最基本的内容，妇孺皆知那种。

再接下来，分析要学实分析（前置是数学分析。在局部紧hausdorff空间上的radon测度部分要用点集拓扑）和泛函分析（前置是数学分析和高等代数和点集拓扑，少部分内容要实分析），代数要学同调代数（前置是抽象代数，但只需要看代数拓扑教材学这部分）和群表示论（前置是高等代数和抽象代数），以及至少学一点交换代数。

作者：雪王爱数学
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来源：知乎
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此回答详细介绍偏代数向的纯数学的入门方式，但也包括了分析和几何拓扑方面的常识课程，对于普通人至少需要花三年时间才能能够学完基础课程先说下我的情况，五年前跟你一样也是非数，对数学系的真正数学产生了兴趣，当时大二初把非数三件套学完了并且把非数考研的李永乐全书看完了，觉得实在是不能满足求知欲，就降转去了数学系，但是我学校没有真正的数学系，也就是数学与应用数学，只能去假的称为计算数学的信息与计算科学专业，但是去了非常痛苦，没有任何正经数学课，只开了数分高代和毫无技术含量的应用数学课，纯数学课程我全是靠自学的，信息和资源全是自己网上搜索，我挺感谢这个信息时代，不然就我这种环境，估计到现在都不知道现代数学是什么样。我目前学过的课程有数学分析、高等代数、抽象代数、点集拓扑、实分析、复分析、泛函分析、微分流形、群表示论、基本的范畴论和同调代数、交换代数。还有最后一门打算学的基础课代数拓扑没学，还有我感兴趣的代数数论没学，学完了会再更新。但自学能力有限，有些没能搞懂或者没学完，比如我没学完伽罗瓦理论和微分流形，以后还得重学，下面介绍这些基础课。首先要知道纯数学的大分类，大类是分为分析学、代数学、几何学与拓扑学三类，另外有很多领域是要跨学科用的，所以这三类都要学最基本的内容，不要一开始就只往一条路钻，比如喜欢捣鼓不等式就只学分析去了，代数和几何拓扑的知识储备匮乏，我是很不喜欢这种数学风格的，应该让知识面健康，就算以后用不上也不应该一开始就不学。分析学是研究函数积分和算子和微分方程的，代数学是研究运算结构的，几何学和拓扑学是研究空间的。我先发基础课学习顺序图，然后一个个说明，注意我只介绍了偏代数向的，这里不包括全部基础课，我没有学习偏微分方程、微分几何这些课程，因为不感兴趣。

这里课程没标注括号的就是要全部学的首先一开始的要先学数学分析，高等代数，抽象代数。接着数学分析学完后就学复分析，点集拓扑，再接着学微分流形（前置数学分析和高等代数和点集拓扑）和代数拓扑（前置点集拓扑和抽象代数），这些属于纯数学最最基本的内容，妇孺皆知那种。再接下来，分析要学实分析（前置是数学分析。在局部紧hausdorff空间上的radon测度部分要用点集拓扑）和泛函分析（前置是数学分析和高等代数和点集拓扑，少部分内容要实分析），代数要学同调代数（前置是抽象代数，但只需要看代数拓扑教材学这部分）和群表示论（前置是高等代数和抽象代数），以及至少学一点交换代数。

数学分析和高等代数是最开始的，如果之前学了微积分和线性代数，这两就是严格化的微积分以及加上线性空间和线性映射部分的线性代数，微积分一开始会学求极限，然后极限定义导数、积分、级数，但这整个过程都是把底层的极限推导当成黑盒的，因为要用到epsilon-delta(epsilon-N)这套描述极限的语言，而数学分析就是加上这部分，值得一说的是在黎曼积分部分不用过于关注，因为被实分析的lebesgue积分代替了，这个在后文会详细介绍。数学分析不要详细学实数的构造里边的自然数（此部分应建议修改了一下），这个属于孔乙己内容，实数构造后面的倒是有用，整数到有理数的构造是抽象代数里面的整环到域的构造以及交换代数里面的局部化，有理数到实数的构造是泛函分析的度量空间的完备化的步骤。高等代数的线性空间和线性映射实际上才是真正的线性代数，矩阵和行列式这些不过是计算的工具，且矩阵跟线性映射有对应可以互相翻译，但这部分学过一遍有个印象就好，因为高等代数所在的环境太好，深入的数学很少用得上，因此不必重视数学分析和高等代数，学是肯定要学，但学了没多大用。抽象代数也是最开始的，它是纯数学里边代数最基本的语言，比高等代数重要的多。

抽象代数的内容是学习纯数学里边最常见的四种代数结构，群环域模，而且抽象代数一丁点也不抽象，内容非常具体，比如群根据Cayley定理就是对称，环论那里的定义都是非常自然的，因为它是多项式的运算性质得到的代数结构，再比如ED、PID、UFD、整环这些定义有最直观的例子整数环，一开始就应该学，前面基本上和高代完全无关，到了域论和模论才会用到高代，不要被某些人忽悠到说什么抽代好抽象啊，没学高代怎么学抽代这些言论骗到，要是抽代都觉得抽象学不明白那可以关闭这个回答了，后面的大部分现代数学都学不了，因为在纯数学，抽象代数生万物。 比如看不懂商群自由群那就看不懂代数拓扑的同调群。抽代一定要学模论，群论那里的各种技巧不是重点，模论才是抽代最重要的部分，后续的数学基本上都以这个立足，因为模是很多东西的自然推广，比如线性空间线性映射，并且要看成环里边的‘群作用’，前面我贬低高等代数的原因就是因为现代数学基本上用的是模而不是线性空间，因为出现的很多重要的都是结构并不是线性空间性质这么好的情况，因为线性空间一定有基而且可以良定义维数，但模就没那么好了，只有自由模才有。而群论那些技巧跟实分析一样是偏门的，不必太重视，学到有限生成abel群的结构定理那里就差不多了。

复分析是数学分析的复数域版本，跟数学分析稍有不同，性质会更好，比如可导就无穷可导且有收敛的幂级数、局部决定整体（唯一性定理），这么好的性质是数学分析所在地背景实数域所没有的，而且定理都很优美。复分析是要全部学的，不要跟工科那样学到会用算个留数积分就停了，后面的几何部分和级数部分也要，但是有的书一开始会讲一些复数的*面几何，这个是不用学的，浪费时间。

点集拓扑是现代数学刻画位置的基本语言，在数学分析会学到刻画位置最原始的方式，点为圆心作个给定半径的圆称为开邻域，如果集合的点能找到开邻域还在集合里边，那这个点就是内点，所有点都是内点的集合称为开集，开区间就是开集最简单的情况。闭集就是集合的点列取极限后还在里边的集合，最简单情况就是闭区间。其他的聚点、闭包、连通性等都用开邻域开集闭集等定义来刻画空间位置。开集和闭集两者会证明一个性质就是开集和闭集互为补集，且两者满足特定条件的并和交封闭，更关键的是利用开集也能够刻画连续，开集的原像是开集，这就能够一般化引入拓扑空间这个结构，最原始的拓扑结构是欧氏拓扑，也就是点作为圆心画给点半径的圆作为拓扑结构，而拓扑空间是一般化，距离都不需要，只需要满足任意并封闭有限交封闭就行。在这个语言下很多时候度量都没有（除非定理条件是度量空间），也就是说点跟点之间距离都没，一开始可能会很不适应，没有直观（少数的直观是数学分析那些定理，点集拓扑是推广到最一般的形式，比如把实数轴闭区间的最值定理推广到紧集上，学的时候一定要对比下），但这是没办法的，数学上很多重要拓扑空间就是这样子，比如代数几何的素理想作为闭集得到的zariski拓扑不可度量化，必须培养出新的直觉去适应。不用学很深，搞懂最常见那些就足够了，一个标准是泛函分析和微分流形要用多少就学多少，学深了是浪费时间的，比如后续的数学的分离性基本上都会假定是度量空间或者hausdorff，配合紧致性或者局部紧致，那些什么T3T4可度量化定理完全没用的，在点集拓扑的学习我走了弯路，学了很多没用的东西，看到此回答的新人就不要踩坑了。我列举一下全部有用的点集拓扑大纲（拓扑。开集。拓扑基。邻域基。闭集。连续和同胚。内点和内部。闭包。边界。紧致性。局部紧。仿紧。连通性和hausdorff。可数性和A2。乘积空间。商空间。列紧性。度量空间。lebesgue数引理。tychonoff定理）

微分流形是纯数学的几何最基本的语言，这门语言要用点集拓扑来定义，流形就是每一点附*是由欧氏空间的子空间连续形变得到的几何对象，再加上微分结构就能在上面用分析工具，也就是说这个也是数学分析的推广，最直观的情况就是地球，人在地球表面看附*都是*直的（三维欧氏空间的子空间），而在大范围内看才能看出弯的，但弯的可以连续形变成直的。解析几何射影几何这种是被淘汰的了，采用流形作为几何的基本语言是因为它是内蕴的，也就是可以不依赖于外在的空间而通过来研究流形本身，这就可以突破人类只有三维的空间想象能力研究任意维度的几何，这是以往的射影几何解析几何等做不到的，所以被淘汰了，可惜的是国内至今数学系还很多不把这个作为必修课，甚至还开所谓的高等几何讲射影几何这种破烂，不要去学这些。后续的微分几何复几何这些均以流形作为最基本的几何对象，另外会引入微分形式给出数学分析的dx的严格定义，就是切空间的对偶基， 还有两个重要结果是Stokes公式以及流形上的de rham上同调，前者把数学分析的微积分基本定理、格林公式、高斯公式全部统一起来推广到最一般的形式，后者是历史上出现的第一种上同调，上同调是现代数学非常重要的技术，所以微分流形是特别重要的，必须得学。

代数拓扑，这个可以说是最重要的基础课之一，它很多理论要用在几何上，但这个我感觉非常难，比其他基础课都难很多，定理证明和抽象程度是超过其他基础课的，我目前还没学会，学代数拓扑入门最低限度只需要学同调论，因为同伦论难度非常大，但同伦论也很重要，很多数学大神说过同伦论才是真正的代数拓扑，如果有能力学完同调论后就学同伦论，没能力就算了，了解下同伦群的定义即可，大部分时候同调论也完全够了，很多学校教代数拓扑就是不教同伦论的。还有一部分内容叫层论，有些代数拓扑教材会讲，有的不会，这个应该是必学的，在现代数学的几何属于非常重要的常识，要是用的书不讲的话，最好找其他书或者黎曼曲面复几何代数几何的教材补上。说一下这个学科的动机，前面说到拓扑空间是现代数学刻画位置的语言，那么自然会考虑到分类不同的拓扑空间，分类的标准自然就是两个拓扑空间存在在双射并且来回的映射都是连续的映射，称为同胚，那么自然会想到用同胚不变量来分类，在点集拓扑会学到最基本的拓扑不变量紧致性，如欧氏拓扑下开区间和闭区间是不同胚的，因为前者是不紧致的后者是紧致的，而代数拓扑是在找更有效的拓扑不变量，如基本群同调群这些，这些拓扑不变量是用代数对象定义的，所以称为代数拓扑，另外范畴论是最适合在代数拓扑的场景下学的，因为动机是必须的，比如拓扑空间之间的连续映射诱导的单纯同调群之间的映射就是函子，拓扑空间同胚则函子之间的单纯同调群同构。

实分析是数学分析的修正，实分析分为测度和积分两部分，测度是一套刻画事物长度和大小的体系，数学上的长度用的lebesgue测度，连续的线长度跟通常意义下的长度一致，有限个点的长度都是零，重点来了，无限个点的长度，如果是可数无限集（跟自然数集能建立双射），那么lebesgue测度是0，有理数集是可数集，所以在数学上整个有理数集的长度是0，而整个实数轴或者无理数集，长度是无穷。之所以这样定义，是因为有些很奇怪的函数，它们都有无限个点不连续，但是一些是黎曼可积的，一些是黎曼不可积的，说明它们尽管都是无限个点，但对函数影响是不一样的，必须得对长度严格定义来区分它们，且用这种长度建立起新的积分，并且新的长度和积分要满足原来的不奇怪的函数的情况，这是实分析作为必修课的第一个原因。第二个原因，众所周知第二次数学危机是因为当时微积分没严格化，而cauchy等人提出来epsilon-delta语言后就解决了，但黎曼积分缺陷没有解决，黎曼积分作为度量的话函数空间不完备，这在分析上是巨大缺陷，所以要发展一套新的体系去刻画，这就是实分析的动机另一个动机，lebesgue积分解决了这个问题。学实分析有两种构造理论的方式，一种是从R的lebesgue测度出发构造，另一种是从任意集上的sigma代数出发构造测度，以R上的lebesgue测度为特殊情况，后者称为抽象测度，建议直接学第二种就好，本科层次的实变函数教材大多是讲的第一种，没有这个必要，应该直接学最优的方式，还有一些老书介绍内测度的方式，千万别看！内测度已经完全淘汰了，现在都是用lebesgue外测度中满足caratheodory条件的子集得到lebesgue测度这种方式，不要浪费时间学过时的东西。按照lebesgue积分的定义它是竖着来做积分，只不过技术细节会更加繁杂，会从简单函数开始定义再推广到单调函数再非负函数最后才是实函数，比黎曼积分麻烦很多，要忍着，这是不得不过的坎。 实分析的目的是为了得到一套性质好的体系，测度空间和lebesgue积分，以及推广到局部紧hausdorff空间上的Riesz表示定理统一测度积分泛函三者。 在建立起lebesgue积分后会会得到个很强大的定理反哺之前的黎曼积分，黎曼可积当且仅当不连续点是零测集，这个非常实用，以及控制收敛定理给积分号和极限号交换位置。实分析会引入个叫L^p空间东西，它是用lebesgue积分定义的，是紧集上的连续函数空间的推广，因为后者赋予的黎曼积分作为度量的度量空间不完备，所以要用lebesgue积分取代riemann积分，完备性在分析是非常重要的，很多定理要用这个条件，后续的分析学基本上都用的Lp空间，所以实分析基本上是为了这个目的。千万不要卡在实分析繁琐无聊没用的细节，那些反例更是没用，好多人会误导说实分析就是研究差函数的，说这种的我觉得就是没学明白的，实分析的目的就是前面说的，完备化分析理论，类似于物理里边牛顿力学和相对论的关系，不是闲的无聊去找这些反例。

泛函分析是把数学分析和高等代数的定理推广到无穷维的任意度量的情况，无穷维的主要情况是函数空间，如连续函数空间和Lp空间。泛函分析先从通常的欧氏距离出发，抽象化距离推广成度量空间，再抽象化向量的模长推广成赋范空间，以及抽象化内积推广成内积空间，配合前面说的完备性得到banach空间和Hilbert了空间两个新框架从而得到大量重要定理，另外泛函会学到分析最基本的几个不等式的最终推广，holder不等式和Minkowski不等式，也就是把这两个不等式分别推广到广义的距离和内积，之前看到的在初等数学里边的熟悉版本不过是特例。还要提及的是Hilbert空间上的Riesz表示定理，把内积和有界线性泛函联系了起来，超级美妙，泛函还有重要的观念叫对偶，对偶就是函数的反客为主，函数是代入自变量到函数里边，对偶是反过来，把函数代入到自变量里边，这是很自然又重要的观念。不过泛函分析深入后内容非常丰富，我只学了入门的，但对于基础课的要求只需要学入门的就行。

交换代数讲的是抽代环论的延续，主要是为现代数学的主流代数几何服务，如果有意学这个就必须要学交换代数，并且学之前要对抽象代数的环论滚瓜烂熟，不然学起来会很难受，个人觉得无论走不走代数方向都应该至少学过抽代后还学下交换代数的素谱和zariski拓扑、prime avoidance、nakayama引理、局部环、局部化和Noether模以及Hilbert零点定理（用Noether正规化定理来证明，包括域扩张版本和极大理想版本和几何意义）以及krull维数和dedekind整环，其中Hilbert零点定理是代数几何的开始，非常重要 ，个人认为必学，因为光抽象代数讲的环论是不够的，但是如果不打算代数几何而且实在不喜欢代数就不要深入学了，只有代数几何会用到很多交换代数，交换代数技巧非常繁杂，而且是需要代数几何和代数数论作为背景的，不然很多东西完全不知道动机，比如我到现在都不知道导出函子是干什么的，所以不打算学这两的话学上面提到的范围就可以了。

同调代数则是代数上更加先进的语言，它来源于代数拓扑产生的代数（如对单纯同调和奇异同调的链复形可以推广成纯代数定义，于是就有了模上的正合列链复形），后面就脱离了代数拓扑，但必学的部分只有代数拓扑附带的那点，不涉及abelian范畴的，所以只需要学代数拓扑教材附带的那点同调代数即可，除非是以后要学更高深的数学才需要学abelian范畴这种。至于范畴论只需要学基本概念，没必要去专门看范畴论的书，除非你实在喜欢，反正我不喜欢，范畴论是更强大的框架，能刻画对象之间的关系而传统代数只是关注对象，比如泛性质这个新工具，极度重要，很多定理都会写成这种形式，包括抽代的同态定理，但我感觉范畴论难以适应，我只能看懂细节还没能适应这种思考方式，因此现在不说太多。一开始说的入门的同调代数指的是模范畴上的，更深入的同调代数是用的abelian范畴的，这个等要用到再学，同调代数和交换代数一样都需要背景知识才能学的深，不然不知道是干嘛的，我已经走了弯路，单独去学交换代数和同调代数感觉无比难受，看到这个回答的话就不要再踩这个坑了。

群表示论则是以最经典的有限群为例子讲解表示这个研究代数的重要手段，就是把群转化（群到后者的自同构群的同态）成线性空间和线性映射这个更加直观的代数对象来研究，以及由于群表示等价于群代数上的左模，从而利用半单代数的结构转化成群表示，三者就这样联系在了一起，非常美妙，这给出了模的一个视角就是表示。学了的话可以对接现在主流的代数表示论。

更新一下之前没提及的概率论，本科通常会必修一门叫概率论与数理统计的课，这门课在数学系是无用的，因为这门课的概率论讲的是初等概率论，非数的不严格东西，连随机变量都没定义严格，有贝特朗悖论这种东西出现，所以数学系是通常是不关注的，如果对真正的概率论感兴趣，学的是用测度论为基础的高等概率论，这时候随机变量就严格化了，前置就是实分析。但概率论在纯数学不是必修课，不感兴趣就可以不学，这跟非数不一样，高数线代概率论都重要，因为纯数学上几何与拓扑比它重要的多。

硬分析（偏微分方程和实调和分析）和几何方向的后续课程（微分几何和微分拓扑）不是我感兴趣的，因为计算量太大太繁琐，我个业余的不喜欢这种dirty work多的数学，不打算学，就不说了，感兴趣请看其他人的回答，有人认为微分几何和偏微分方程也是基本素养，但我实在是不感兴趣，以后要学的东西也用不上，肯定不学。

纯数学的分支是非常多的，除了分析代数几何三大头还有组合和数论，以及各种跨领域分支等等都可以选择，但我没有学过，因为我光学基础课就已经花了几年，打完基础以后有时间再考虑，你也可以不用跟我这样，可以一边学基础课一边去尝试这些领域，找到感兴趣的，比如听说学完抽象代数后就可以去学一些代数数论，很有意思。不少人基础课没系统学过照样科研做的好的很。教材方面可以看我之前的回答[https://www.zhihu.com/answer/2339797390]，但是也没几本，因为我基本上都不满意，感觉大部分书写的都很差，那些热门教材什么rudin什么Stein我都不觉得好。建议你学的时候多参考几本，取长补短，这样是最好的。不要抗拒英文书数学书，也不要看翻译书，很多时候术语不对或者翻译错误，英文数学书用到的英语是很简单的，初中水*就足够，在大学生人均过四级的今天是没有问题的，术语查几遍就眼熟了，国内数学水*是不怎么样的，因此光看中文书学数学是不够的，或者最好能不要看中文书就不看，因为基本上都是照抄外国书或者多年没更新过，早就落后了。下载电子书后可以打印出来，发文件给淘宝打印店商家就行，要求双面黑白胶装铜版纸封面B5。还有一个是mathstackexchage网站，这个是标准的数学讨论社区，但输入公式需要用LaTeX，LaTeX也是必须要学的，通常网上交流或者打笔记写书的时候都是用的这个编辑，这个只需要现学点基本的就行，不会花很多时间的。

另外希望你千万不要走上歪路学集合论数理逻辑，这个在纯数学是偏门的，并不重要，集合论在纯数学基本上只用选择公理和zorn引理这两条，数理逻辑用不上。重要的是我说的这些基础课，好多人一开始就学这个，整天扯什么哥德尔，捣鼓乱七八糟的公理连个有意义的定理都没，完全沦为了数学孔乙己，连抽代复变都不打算学了，万劫不复，除非你学了基础课后还是想学这个就再考虑，同样的还有范畴论，完全不需要去看专门的教材学，该用的会在每本书顺带讲的。以及别卡在数分太久，数学分析没有多重要，基本的内容有个印象就好，很多人说什么数分高代是最重要的基础，那就是扯淡的，不打算考研没必要精通数分高代，何况只会数分高代对于纯数学来说还是文盲，必须得学后面的课程，我见非常多人热衷搞什么重学数分，看卓里奇于品amann之类的所谓高观点说法，但是后面的数学完全不打算学，这完全就是歪路，浪费时间，后面的数学也是最基本的，此类人说看卓里奇amann这种书是为了看高观点，我见过一个东南大学的数学分析讲义，把范畴论的米田引理都塞了进去，真是奇葩，完全错误的学习顺序。实际上这种所谓的高观点数学分析塞的什么流形都是最我前面说的基础课，并不是什么高观点，真正的高观点初学者几年内都是碰不到的，我也没碰到过，就是十年内的前沿数学，数学分析这种古代数学是完全不可能接触到的，所以没有必要看这种书，老老实实看基础课的正规教材按照科班路线走就好。国内数学系课程安排还有非常多不合理的，不要完全按照那样去学，比如解析几何、数学建模、纯解方程的常微分这些，都完全没用或者是过时的，不必去学，有用的课我前面已经都说了的对于习题，挑重要的做下应该就行了，我对这个是没有发言权的，因为我习题做的很少，只是把正文勉强搞懂，有些人喷过我是名词党也是这个原因，但大部分定理的证明我都尽力去看懂了，卡在无数次跳步但都大都推出来了。

因为我当时调查纯数学的基础课绝望的发现不得不在深度和广度之间做出权衡，因为时间太少了，我是个喜新厌旧的人，就选择了广度，这个选择带来的缺点就是没几门精通的，我学过的很多基本上只是细节看懂，不能算是真正理解，以后肯定要复习重学，做下习题。你应该两个都要兼顾，尽管这会非常艰巨，但纯数学的门槛就是如此之高，真不是学个数分高代就可以的还要说下竞赛，这个完全不要碰，就是一些奇技淫巧，对正经数学没有任何帮助，不碰竞赛对学数学没有任何影响，相反，我这几年见到非常多人是喜欢竞赛胜过数学本身的，比如有些人要年年参加cmc丘赛，大学几年的宝贵时光全浪费在上面，多么可悲，困在竞赛出不来了，跟前面说的陷入集合论数理逻辑的人一样连最基本的抽代复变都不学了，而是无止境的去做那些数分难题。国内有过度吹捧竞赛的不良风气，而对搞科研的真正厉害的人反而不关心，不要去跟那些热衷竞赛的庸人混一起，纯数学不需要竞赛，学后续课程才是正道再更新一些歪路，首先是现在大火的chatGPT，现在这个东西尽管很强，对各个领域都有很大冲击，但我作为学过纯数学并且使用过的表示现在它对纯数学毫无影响，不要浪费时间用它去学纯数学，没用的，会给出些废话错话乱编的话。

其次是某些人会让你学编程学物理，这是完全浪费时间的，不要管，根本没用，纯数学之所以叫纯数学，就是因为它完全是内部自娱自乐的东西，就算有实用价值也是极少数。很多数学能力低下的码农，学个线性代数都费劲那种，纯数压根没入门反倒是让人去浪费时间学