数列上极限和集合上极限

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\section{数列子列的概念}

在数列$x_n$中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列$x_n$的子数列(或简称"子列")

数列$x_n$的子数列一般用符号$x_{n_k}$表示,其中下标$n_k$表示$x_{n_k}$在原数列中的项数,而"下标的下标"$k$则表示$x_{n_k}$在子数列中的项数。由于某项在原数列中的位置不可能比在子列中更"靠前",故有\textbf{\textcolor{red}{$n_k\ge k$}}

例如在正整数数列$x_n=n$中取全部偶数项,则构成子列2,4,6,8....,即$x_{2k}=2k$,这里$n_k=2k$,注意4这一项在原数列中是第4项,而在子数列中是第2项

\section{数列的上极限}

$$a:=\overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}}{a}_n=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\ge k}{sup}{a}_n=\underset{k\ge 1}{inf}\underset{n\ge k}{sup}{a}_n:=b$$

\textcolor{red}{Remark: 数列$a_n$的上极限即{$a_n$} 的聚点全体作成的集合的上确界}

Proof: 设$E$为{$a_n$}的聚点集,任取$x\in E$,则存在 $a_{n_k}$,使得 $a_{n_k}\to x,k\to \mathrm{\infty }$,有 $a_{n_k}\le \underset{n\ge k}{sup}{a}_n$

则两边同取极限$k\to \mathrm{\infty }$,得(极限有保号性)

$$x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n_k}\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\ge k}{sup}{a}_n$$

而$\underset{n\ge k}{sup}{a}_n$是单调递减序列,则
$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\ge k}{sup}{a}_n=\underset{k\ge 1}{inf}\underset{n\ge k}{sup}{a}_n$

\textcolor{red}{Remark:单调递减序列取下确界与取极限是一样的}

从而 $ x \le b$,\mathrm{由}$x$\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{性},\mathrm{得}$ a \le b$

现往证$ b \le a$,\mathrm{只}\mathrm{需}\mathrm{说}\mathrm{明}$ b \in E$,\mathrm{记}$b_k = \underset{n \ge k}{sup}, a_n $,表示所有子列的上确界

则有 $a_{n_k}\le b_k $,\mathrm{由}$b_k $\mathrm{上}\mathrm{确}\mathrm{界}\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义},\mathrm{得}$\forall \epsilon > 0, \exists a_{n_k}, , s.t.$$ b_k < a_{n_k} + \frac{\epsilon}{2}$

也即
$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{K}_1,wheneverk>K_1,s.t.$

$$a_{n_k}\le b_k<a_{n_k}+\frac{ϵ}{2}$$

同时有$ \underset{k \to \infty}{lim} , b_k = b $,\mathrm{则}$ \forall \epsilon > 0, \exists K_2, whenever , k > K_2$, s.t.

$$|b_k-b|<\frac{ϵ}{2}$$

从而有 $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }K=max{K}_1,K_2,whenever,k>K$, s.t.

$$|a_{n_k}-b|\le |a_{n_k}-b_k|+|b_k-b|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$

证毕

\section{数列上极限和集合上极限}

\subsection{数列上极限的等价定义}

$\overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}}{a}_n$ \qquad $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\ge k}{sup}{a}_n$ \qquad \textcolor{red}{$\underset{k\ge 1}{inf}\underset{n\ge k}{sup},a_n$ }

数列$a_n$的上极限即{$a_n$} 的聚点全体作成的集合的上确界

上极限是所有收敛⼦列极限的上确界

\subsection{集合上极限的等价定义}

$\overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}}{A}_n$ \qquad $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim},sup,A_n$ \qquad \textcolor{red}{$\stackrel{\mathrm{\infty }}{\bigcap _{n=1}}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\bigcup _{m=n}}{A}_m$}

{$x:$ 存在无穷多个$A_n$, 使得 $x\in A_n$}

{$x:\mathrm{\forall }N>0,\mathrm{\exists }n>N$, 使得 $x\in A_n$}

注意数列上极限和集合上极限的表达

如果集合列一个比一个大,那么这个集合列的极限直观上就是取最大的那个,也就是所有集合的并;如果集合列一个比一个小,那么这个集合列的极限直观上就是取最小的那个,也就是所有集合的交;此时我们发现，\textbf{数列的上确界、下确界对于集合列而言，恰好对应于并交运算}

把适应于数列的极限的语言翻译到集合上面

定义： 一个集合序列收敛，上限集和下限集相等

$$\stackrel{\mathrm{\infty }}{\bigcap _{n=1}}{A}_n\subset \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{lim}}{A}_n\subset \overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}}{A}_n\subset \stackrel{\mathrm{\infty }}{\bigcup _{n=1}}{A}_n$$

\section{Example}
$A_n=[0,\frac{1}{n}],n\in \mathbb{N}$

Proof:

1. 证明 $A_n$ 收敛 \qquad 上极限和下极限相等

2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=\{0\}$

\section{可测函数}

连续函数：开集原像是开集

可测函数：开集原像是Lebesgue可测集