[POI2002][HAOI2007]反素数 数论 搜索 好题
题目描述:
对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数。例如,整数1,2,4,6等都是反质数。
现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么?
题解:
显然,我们要求的是 $[1,N]$ 中约数个数最多且该数字最小的值。
根据约数个数公式:$ans=(p_{1}+1)(p_{2}+1)(p_{3}+1)...$,其中 $p_{i}$ 为第 $i$ 个素因子的幂次。
所以我们只需枚举素因子以及素因子的幂次即可。
考虑搜索:
我们有几个剪枝条件:
1.幂次肯定递减(这个自己想想就能明白)
2.我们一般只会用到前30个素数(这个就靠猜测了)
3.由于 $N<=2e9$,我们最多只会用到 12 个左右的不同数字相乘。
根据这些剪枝条件,我们进行搜索即可。
Code:
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int prime[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51,53}; ll n, maxn; int cur; void dfs(int dep,ll m,int t,int p){ //上一个指数 if(dep==12){ if(t>=cur){ if(t>cur) maxn=m, cur=t; else if(m<maxn) maxn=m; } return; } ll cnt=1; for(int i=0;i<=p;++i){ dfs(dep+1,m*cnt,t*(i+1),i); cnt*=prime[dep]; if(m*cnt>n) break; } } int main(){ //freopen("input.in","r",stdin); scanf("%lld",&n); dfs(1,1,1,30); printf("%lld",maxn); return 0; }