一些图的计数

DAG 计数

1. 不要求联通

可以枚举 DAG 中入度为 0 的点的数量，但是会算重.

钦定入度为 0 的点的数量为 $i$ 时会将 $j$ 个入度为 0 的图算 $\binom{j}{i}$ 次.    

由于我们算的是全集，容斥系数就是 $(-1)^{i-1}.$   

那么就有 :

$f(n)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \binom{n}{i} f(n-i) 2^{(n-i)i}$

$f(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-1} \binom{|S|}{|T|} f(S-T) 2^{E(S)-E(T)-E(S-T)}$.  

在第 2 个式子中 $E(S)$ 表示在点集 $S$ 中边的数量.      

2. 要求联通

根据 exp 的定义，直接对 $f$ 这个多项式取 exp 即可.    

式子：  $g(n)=f(n)-\sum_{i=1}^{n-1} \binom{ n-1}{i-1} f(n-i)g(i)$ 即枚举 $1$ 号点所在 DAG 大小.