CF662A Gambling Nim 线性基

挺好的一道题.   

判断先手必胜即判断所有数异或值是否为 0.   

直接判断的话不好做，不妨先强制所有数选 a，然后再看有几种方案使得选一些 b 让序列异或值为 0.   

假如想让位置 i 从 a->b，要异或上 $a_{i}$ xor $b_{i}$.  

那么，就先求出所有 $a_{i}$ 的异或和 sum，然后将 $a_{i}$ xor $b_{i}$ 扔到线性基里，看看有几种方案使得线性基里异或和等于 sum.            

根据线性基的相关定理，每种异或和出现次数都是相同，所有输出 $2^{size}-1/2^{size}$ 即可.  

code:   

#include <cstdio> 
#include <algorithm>   
#define N 64   
#define ll long long 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)   
using namespace std; 
ll p[63];       
int cnt=0; 
int ins(ll x) {  
    for(int i=62;i>=0;--i) {  
        if(x&(1ll<<i)) {   
            if(p[i]) 
                x^=p[i];    
            else {  
                p[i]=x;   
                ++cnt;  
                return 1; 
            }
        }     
    }  
    return 0; 
}
int main() {  
    // setIO("input"); 
    int n;  
    scanf("%d",&n);  
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) {  
        ll a,b;     
        scanf("%lld%lld",&a,&b); 
        sum^=a;  
        ins(a^b); 
    }   
    if(ins(sum)) printf("1/1\n");   
    else { 
        printf("%lld/%lld\n",(1ll<<cnt)-1,1ll<<cnt);     
    }
    return 0; 
}