LOJ #3044. 「ZJOI2019」Minimax 搜索 动态DP+概率
神仙 DP.
可以求解 $1$ 号点的答案 $val(1)=w$.
假设所选的 $S$ 集合包含 $w$，那么答案一定为 $1$.
令叶子节点个数为 $m$，则有 $2^{m-1}$ 个集合的答案为 $1$.
假设当前修改代价为 $i$，想让根节点的答案改变.
最优改变方式有两种：
1.将小于 $w$ 的改成 $w+1$，其余不变.
2.将大于 $w$ 的改成 $w-1$，其余不变.
我们发现遵循 $1,2$ 改法一定是最优的.
令 $f_{x},g_{x}$ 分别表示上述 $1,2$.
然后 $f_{x},g_{x}$ 改的集合是没有交集的.
但是可能会出现 $f_{x}$ 改了 $A$，没改 $B$，而 $g_{x}$ 改了 $B$ 而没改 $A$.
直接将 $f_{x},g_{x}$ 相加可能会算重.
所以将 $f_{x},g_{x}$ 定义为概率，根节点的答案就是 $2^m(f_{x}+g_{x}-f_{x}g_{x})$
$f_{x}$ 与 $g_{x}$ 的转移的话按照层数分奇偶讨论一下即可.
剩下的东西就用动态 DP 优化吧.
感觉这题能拿 $70pts$ 就不错了吧......
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 300008
#define mod 998244353
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
int si[N],an[N],n,W,det,CUR;
int dep[N],hd[N],to[N<<1],nex[N<<1],leaf[N],fa[N],inv[N],edges;
void add(int u,int v)
{
nex[++edges]=hd[u],hd[u]=edges,to[edges]=v;
}
inline int qpow(int x,int y)
{
int tmp=1;
for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
return tmp;
}
inline int INV(int x) { return qpow(x,mod-2); }
// 特殊数字处理
struct spe
{
int x,y;
spe(int a=1,int b=0) { x=a,y=b; }
spe operator*(const spe b) const
{
spe c;
c.x=(ll)x*b.x%mod;
c.y=y+b.y;
return c;
}
spe operator/(const spe b) const
{
spe c;
c.x=(ll)x*INV(b.x)%mod;
c.y=y-b.y;
return c;
}
inline void modify(int v)
{
if(v) x=v,y=0;
else x=1,y=1;
}
inline int val() { return y?0:x; }
}G[N],G1[N];
// 矩阵乘法
struct matrix
{
int a[2][2];
matrix() { memset(a,0,sizeof(a)); }
int *operator[](int x) { return a[x]; }
matrix operator*(matrix b) const
{
matrix c;
for(int i=0;i<2;++i)
{
for(int j=0;j<2;++j)
for(int k=0;k<2;++k)
(c[i][j]+=(ll)a[i][k]*b[k][j]%mod)%=mod;
}
return c;
}
}tmp[N],F[N],F1[N],tmp1[N];
// 动态树
#define lson s[x].ch[0]
#define rson s[x].ch[1]
int sta[N];
struct data { int ch[2],f,r; }s[N];
inline int get(int x) { return s[s[x].f].ch[1]==x; }
inline int isr(int x) { return s[s[x].f].ch[0]!=x&&s[s[x].f].ch[1]!=x; }
void pushup(int x)
{
s[x].r=x;
// 叶节点特判
if(leaf[x])
{
F[x][0][0]=1,F[x][0][1]=F[x][1][1]=0;
F[x][1][0]=G[x].val();
F1[x][0][0]=1,F1[x][0][1]=F1[x][1][1]=0;
F1[x][1][0]=G1[x].val();
if(lson)
{
F[x]=F[lson]*F[x];
F1[x]=F1[lson]*F1[x];
}
}
else if(CUR==x)
{
F[x][0][0]=1,F[x][0][1]=F[x][1][1]=0;
F1[x][0][0]=1,F1[x][0][1]=F1[x][1][1]=0;
if(dep[x]%2==1)
{
F[x][1][0]=(1-G[x].val()+mod)%mod;
F1[x][1][0]=G1[x].val();
}
if(dep[x]%2==0)
{
F[x][1][0]=G[x].val();
F1[x][1][0]=(1-G1[x].val()+mod)%mod;
}
if(lson) F[x]=F[lson]*F[x],F1[x]=F1[lson]*F1[x];
}
else
{
F[x]=tmp[x];
F1[x]=tmp1[x];
if(lson)
{
F[x]=F[lson]*F[x];
F1[x]=F1[lson]*F1[x];
}
if(rson)
{
s[x].r=s[rson].r;
F[x]=F[x]*F[rson];
F1[x]=F1[x]*F1[rson];
}
}
}
void rotate(int x)
{
int old=s[x].f,fold=s[old].f,which=get(x);
if(!isr(old))
s[fold].ch[s[fold].ch[1]==old]=x;
s[old].ch[which]=s[x].ch[which^1];
if(s[old].ch[which])
s[s[old].ch[which]].f=old;
s[x].ch[which^1]=old,s[old].f=x,s[x].f=fold;
pushup(old),pushup(x);
}
void splay(int x)
{
int u=x,fa;
for(;!isr(u);u=s[u].f);
CUR=s[u].r;
for(u=s[u].f;(fa=s[x].f)!=u;rotate(x))
if(s[fa].f!=u)
rotate(get(fa)==get(x)?fa:x);
CUR=0;
}
void Access(int x)
{
for(int y=0;x;y=x,x=s[x].f)
{
splay(x);
if(rson)
{
spe t,t2;
if(dep[x]%2==1)
{
t.modify(1-F[rson][1][0]+mod);
t2.modify(F1[rson][1][0]);
}
if(dep[x]%2==0)
{
t.modify(F[rson][1][0]);
t2.modify(1-F1[rson][1][0]+mod);
}
G[x]=G[x]*t;
G1[x]=G1[x]*t2;
}
if(y)
{
spe t,t2;
if(dep[x]%2==1)
{
t.modify(1-F[y][1][0]+mod);
t2.modify(F1[y][1][0]);
}
if(dep[x]%2==0)
{
t.modify(F[y][1][0]);
t2.modify(1-F1[y][1][0]+mod);
}
G[x]=G[x]/t;
G1[x]=G1[x]/t2;
}
// 取 max
if(dep[x]%2==1)
{
tmp[x][1][1]=G[x].val();
tmp[x][1][0]=(1-G[x].val()+mod)%mod;
tmp1[x][1][1]=G1[x].val();
tmp1[x][1][0]=0;
}
else
{
tmp[x][1][1]=G[x].val();
tmp[x][1][0]=0;
tmp1[x][1][1]=G1[x].val();
tmp1[x][1][0]=(1-G1[x].val()+mod)%mod;
}
rson=y;
if(!y) CUR=x;
pushup(x),CUR=0;
}
}
#undef lson
#undef rson
void dfs(int x,int ff)
{
fa[x]=ff,dep[x]=dep[ff]+1,leaf[x]=1;
if(dep[x]%2==1) an[x]=-N;
else an[x]=N;
for(int i=hd[x];i;i=nex[i])
{
int y=to[i];
if(y==ff) continue;
leaf[x]=0,dfs(y,x),si[x]+=si[y];
if(dep[x]%2==1)
an[x]=max(an[x],an[y]);
else
an[x]=min(an[x],an[y]);
}
if(leaf[x]==1) si[x]=1,an[x]=x;
}
void dfs2(int x)
{
s[x].f=fa[x];
G[x].modify(1);
G1[x].modify(1);
for(int i=hd[x];i;i=nex[i])
{
int y=to[i];
if(y==fa[x]) continue;
dfs2(y);
spe t,t2;
// 取 max
if(dep[x]%2==1)
{
t.modify((1-F[y][1][0]+mod)%mod);
t2.modify(F1[y][1][0]);
G[x]=G[x]*t;
G1[x]=G1[x]*t2;
}
// 取 min
else
{
t.modify(F[y][1][0]);
t2.modify((1-F1[y][1][0]+mod)%mod);
G[x]=G[x]*t;
G1[x]=G1[x]*t2;
}
}
if(leaf[x])
{
if(x==W) G[x].modify(0),G1[x].modify(0);
else
{
if(x>W)
{
G[x].modify(1);
G1[x].modify(0);
if(x-det<W) G1[x].modify(inv[2]);
}
if(x<W)
{
G[x].modify(0);
if(x+det>W) G[x].modify(inv[2]);
G1[x].modify(1);
}
}
}
else
{
tmp[x][0][0]=1;
tmp[x][0][1]=0;
tmp[x][1][1]=G[x].val();
tmp1[x][0][0]=1;
tmp1[x][0][1]=0;
tmp1[x][1][1]=G1[x].val();
if(dep[x]%2==0) tmp[x][1][0]=0,tmp1[x][1][0]=(1-G1[x].val()+mod)%mod;
if(dep[x]%2==1) tmp[x][1][0]=(1-G[x].val()+mod)%mod,tmp1[x][1][0]=0;
}
CUR=x,pushup(x),CUR=0;
}
int Ans[N];
int out[N];
int main()
{
// setIO("input");
inv[0]=1;
for(int i=1;i<N;++i)
inv[i]=INV(i);
int L,R;
scanf("%d%d%d",&n,&L,&R);
for(int i=1;i<n;++i)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y),add(y,x);
}
dfs(1,0),W=an[1];
for(int i=W;i;i=fa[i]) --si[i];
det=1;
dfs2(1);
int co=qpow(2,si[1]);
for(det=1;det<n;++det)
{
int p=W+1-det;
if(p>0&&leaf[p]&&p!=W)
{
Access(p),splay(p);
G[p].modify(inv[2]);
pushup(p);
}
int q=W-1+det;
if(q<=n&&leaf[q]&&q!=W)
{
Access(q),splay(q);
G1[q].modify(inv[2]);
pushup(q);
}
Access(1),splay(1);
Ans[det]=(ll)(F[1][1][0]+F1[1][1][0]-(ll)F[1][1][0]*F1[1][1][0]%mod+mod)%mod;
Ans[det]=(ll)Ans[det]*co%mod;
int cu=(det==1?co:0);
out[det]=(ll)(Ans[det]-Ans[det-1]+cu+mod)%mod;
}
out[n]=(ll)(co-Ans[n-1]+mod-1)%mod;
for(int i=L;i<=R;++i) printf("%d ",out[i]);
return 0;
}
