LOJ #3098. 「SNOI2019」纸牌 动态规划+矩阵乘法

题意：有 $n$ 种牌，每种牌有 $C$ 张.

有两种方法能组成一叠：

- $(i,i+1,i+2)$
- $(i,i,i)$

一副牌是合法的，当且仅当这副牌能被分成若干叠.

给出牌的种类数 $n$ 以及每种的张数 $C$，和每种牌必选的个数.（如果该牌必选 $k$ 张，则有 $C-k$ 张是可选可不选的）

数据范围：$n\leqslant 10^{18},C\leqslant 10^3$

如何判定一副牌合不合法：一定把 $(i,i,i)$ 这种类型的都打掉，然后再判断 $(i,i+1,i+2)$ 合不合法.

至于证明，我们容易证明如果只有 3 张牌 1，2，3 的话显然要满足：

$(a-k)\equiv 0(\mod 3)$

$(b-k) \equiv 0(\mod 3)$

$(c-k) \equiv 0(\mod 3)$

有：$a,b,c \equiv k(\mod 3)$ ，强制让 $k\leqslant 2$ 就行.

多个的话由 3 个去推广即可.

由此，我们就设 $f_{i,j,k}$ 表示当前为第 $i$ 种牌，凑了 $j$ 对 $(i-1,i)$，$k$ 对 $i$ 的方案数.

那么有转移：$f_{i,j,k}=f_{i-1,l,j}\times (\frac{C-j-l-k}{3}+1)$

除法是向下取整，然后 +1 是因为可以不选 $(i,i,i)$ 这种的.

这个转移在 $j+l+k >= need$ 的时候是显然正确的，但是当 $j+l+k<need$ 的时候要强制再选一些.

转移也是十分简单的，算一下需要最少再选几个 $(i,i,i)$ (注意这个要向上取整，宁可多选)

 

code:  

#include <bits/stdc++.h>      
#define N 100007 
#define ll long long 
#define mod 998244353 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;    
ll n,k[N];    
int C,X,a[N];     
int add(int x,int y) { return (ll)((ll)x+y+mod)%mod; }    
int dec(int x,int y) { return (ll)(x-y+mod)%mod; }     
int mul(int x,int y) { return (ll)x*y%mod; }        
struct matrix 
{
    int m[9][9];      
    matrix(int t=0)
    { 
        memset(m,0,sizeof(m));      
        for(int i=0;i<9;++i)   
            m[i][i]=t;   
    }   
    int *operator[](int x) { return m[x]; }  
    friend matrix operator*(const matrix &A,const matrix &B) 
    {
        matrix C(0);     
        for(int i=0;i<9;++i)   
            for(int k=0;k<9;++k) 
                for(int j=0;j<9;++j)   
                    C.m[i][j]=add(C.m[i][j],mul(A.m[i][k],B.m[k][j]));    
        return C; 
    }
    friend matrix operator^(matrix A,ll B) 
    {
        matrix Ans(1);    
        for(;B;B>>=1,A=A*A)  
            if(B&1)  
                Ans=Ans*A;    
        return Ans; 
    }
}A,B,tmp;      
void init() 
{  
    for(int i=0;i<=2;++i) 
        for(int j=0;j<=2;++j)  
            for(int k=0;k<=2;++k)      
                if(i+j+k<=C)      
                    B[j*3+k][i*3+j]=(C-i-j-k)/3+1;        
}
int main() 
{ 
    // setIO("input");     
    scanf("%lld%d%d",&n,&C,&X),init();   
    for(int i=1;i<=X;++i)   
        scanf("%lld%d",&k[i],&a[i]); 
    A[0][0]=1;    
    for(int i=1;i<=X;++i)
    {
        A=A*(B^(k[i]-k[i-1]-1));        
        memset(tmp.m,0,sizeof(tmp.m));   
        for(int j=0;j<=2;++j)
            for(int k=0;k<=2;++k) 
                for(int l=0;l<=2;++l) 
                {
                    int now=j+k+l,con=(now>a[i])?now:(a[i]+((now-a[i])%3+3)%3);     
                    if(con<=C)   
                        tmp[j*3+k][l*3+j]=(C-con)/3+1;   
                }
        A=A*tmp;     
    }
    A=A*(B^(n-k[X]));      
    printf("%d\n",A[0][0]);  
    return 0; 
}