BZOJ 3935: Rbtree 树形DP

Description

给定一颗 N 个点的树，树上的每个点或者是红色，或者是黑色。

每个单位时间内，你可以任选两个点，交换它们的颜色。

出于某种恶趣味，你希望用最少的时间调整结点的颜色，使得对于每个点，离它最近的黑色点与它的距离不超过 x。

 

Input

输入的第一行包含整数 N 和 x(1 <= x <= 10^9)。

接下来一行 N 个整数 C1-Cn，表示结点的初始颜色。1 表示黑色，0 表示红色。

接下来 N-1 行，每行 3 个整数 ui, vi,wi(1 <= wi <= 10^9)，表示点 ui 和 vi 之间存在权值为 wi的边。

 

Output

输出一个数表示答案；如果无解，输出 “-1”。

 

我们令 $f[i][j][k]$ 表示 $i$ 的子树中有 $j$ 个黑点，且钦定 $i$ 与 $k$ 配对且 $i$ 子树其余点都配对好的最优解.

特别地，我们还要钦定 $k$ 这个点先不进行任何操作.

这道题难就难在这是一个匹配问题，有好多个点都需要去匹配，但是我们通过状态将问题缩小为只匹配一个点.

我们可以这么设置状态的前提是因为我们发现以 $i$ 为根的子树中只有 $i$ 这个点有可能和子树外的点配对.

因为你画一下图的话，你会发现如果 $i$ 的某个子孙要和 $i$ 为根子树外的点配对的话那个点一定和与 $i$ 配对的相等，否则不会更优.

而其余情况，就是在 $i$ 的子树内部自行解决.

我们还钦定不对 $k$ 进行操作的原因是这样就是两个状态的 $k$ 相同，也可以直接相加.

我们需要先观察/挖掘题目中隐含的性质来简化问题，然后再去根据套路设置状态.

#include <cstdio> 
#include <cstring> 
#include <algorithm>     
#define N 508 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;
int n,K,edges,dfn,m;     
int v[N],hd[N],to[N<<1],nex[N<<1],val[N<<1],Q[N];  
int f[N][N][N],g[N][N],st[N],ed[N],dis[N][N],size[N];   
void add(int u,int v,int c) 
{
    nex[++edges]=hd[u],hd[u]=edges,to[edges]=v,val[edges]=c;  
}
void getdis(int u,int ff,int y) 
{  
    if(y==1) st[u]=++dfn,Q[dfn]=u;      
    for(int i=hd[u];i;i=nex[i])  if(to[i]!=ff) dis[y][to[i]]=dis[y][u]+val[i],getdis(to[i],u,y);   
    if(y==1) ed[u]=dfn;  
}
void dfs(int x,int ff) 
{                     
    int i,j,k,mn,a; 
    for(a=1;a<=n;++a)  if(a!=x&&dis[a][x]<=K) f[x][0][a]=0;   
    f[x][1][x]=0;     
    size[x]=1; 
    for(i=hd[x];i;i=nex[i]) if(to[i]!=ff) 
    {
        int y=to[i]; 
        dfs(y,x); 
        memset(g,0x3f,sizeof(g));      
        for(j=0;j<=size[x]&&j<=m;++j) for(k=0;k<=size[y]&&k+j<=m;++k) 
        {
            mn=0x3f3f3f3f;   
            for(a=st[y];a<=ed[y];++a) mn=min(mn,f[y][k][Q[a]]+!v[Q[a]]);    
            for(a=1;a<=n;++a)    g[j+k][a]=min(g[j+k][a],f[x][j][a]+f[y][k][a]);   
            for(a=1;a<st[y];++a) g[j+k][Q[a]]=min(g[j+k][Q[a]],f[x][j][Q[a]]+mn);   
            for(a=ed[y]+1;a<=n;++a)  g[j+k][Q[a]]=min(g[j+k][Q[a]],f[x][j][Q[a]]+mn);   
        }
        size[x]+=size[y];  
        for(j=0;j<=size[x]&&j<=m;++j) for(a=1;a<=n;++a) f[x][j][a]=g[j][a];  
    }
}
int main() 
{ 
    // setIO("input"); 
    int i,j;    
    scanf("%d%d",&n,&K);      
    for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&v[i]),m+=v[i];         
    for(i=1;i<n;++i) 
    {
        int x,y,z; 
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z);  
    }   
    memset(f,0x3f,sizeof(f));           
    for(i=1;i<=n;++i) getdis(i,0,i);      
    dfs(1,0);   
    int ans=0x3f3f3f3f;       
    for(i=1;i<=n;++i) ans=min(ans,f[1][m][i]+!v[i]); 
    printf("%d\n",ans>n?-1:ans); 
    return 0; 
}