CF446C DZY Loves Fibonacci Numbers 线段树 + 数学

有两个性质需要知道：

$1.$ 对于任意的 $f[i]=f[i-1]+f[i-2]$ 的数列，都有 $f[i]=fib[i-2]\times f[1]+fib[i-1]\times f[2]$

其中 $fib[i]$ 为第 $i$ 项斐波那契数列.

$2$. 对于任意满足上述条件的数列，都有 $\sum_{i=1}^{n}f[i]=f[n+2]-f[2]$

$3.$ 任意两断满足上述条件的数列每一项依次叠加，依然满足 $g[i]=g[i-1]+g[i-2]$，且上述两个性质都满足.

$4.$ 任何一段斐波那契数列也满足上述所有性质.

有了上述预备知识后，再考虑这道题：

我们用线段树来维护区间和，线段树上每个节点维护 $3$ 个信息，为 $sum,f1,f2$

即节点所维护的区间和，以及该节点及线段树中区间要加上一个前两项为 $f1,f2$ 的上述递推数列.

那么，我们只需考虑如何下传标记，如何查询即可.

假设当前节点已经有了 $f1,f2$，那么将标记下传给左子树是轻松的：直接下传即可，区间和的贡献可按照上述公式 $O(1)$ 求出.

而如果要下传给右儿子的话就不能直接传了，因为右儿子区间开头的两项并不是 $f1,f2$.

而根据上述三条性质，我们知道斐波那契数列的任何一段也是斐波那契数列.

所以，直接算出右儿子的 $f1,f2$ 即 $f1\times fib[mid-l]+f2\times fib[mid-l+1]$ 与 $f1\times fib[mid-l+1]+f2\times fib[mid-l+2]$

然后还知道 $f1,f2$ 都满足叠加性，所以直接叠加到左右儿子的 $f1,f2$ 上即可.

#include <bits/stdc++.h> 
#define N 400004   
#define LL long long   
#define lson now<<1 
#define rson now<<1|1 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)  
using namespace std;  
const LL mod=1000000009;            
int n,m;                     
LL fib[N<<1],sum[N<<1];    
struct node 
{
	LL f1,f2,sum;   
	int l,r,len;      
}t[N<<2];  
void build(int l,int r,int now) 
{ 
	t[now].l=l; 
	t[now].r=r; 
	t[now].len=r-l+1;  
	if(l==r) return ;  
	int mid=(l+r)>>1;      
	if(l<=mid)    build(l,mid,lson); 
	if(r>mid)     build(mid+1,r,rson);      
}  
void mark(int now,LL f1,LL f2) 
{    
	(t[now].f1+=f1)%=mod; 
	(t[now].f2+=f2)%=mod;        
	(t[now].sum+=f1*fib[t[now].len]%mod+f2*fib[t[now].len+1]%mod-f2+mod)%=mod;        
}   
void pushup(int now) 
{
	t[now].sum=(t[lson].sum+t[rson].sum)%mod;               
} 
void pushdown(int now) 
{
	if(t[now].f1==0&&t[now].f2==0) return;   
	int mid=(t[now].l+t[now].r)>>1;             
	mark(lson,t[now].f1,t[now].f2);    
	if(t[now].r>mid)   
	mark(rson,t[now].f1*fib[t[lson].len-1]%mod+t[now].f2*fib[t[lson].len]%mod,t[now].f1*fib[t[lson].len]%mod+t[now].f2*fib[t[lson].len+1]%mod);     
	t[now].f1=t[now].f2=0;    
}
void update(int l,int r,int now,int L,int R) 
{ 
	if(l>=L&&r<=R) 
	{            
		mark(now,fib[l-L+1],fib[l-L+2]);           
		return;       
	}    
	pushdown(now); 
	int mid=(l+r)>>1;  
	if(L<=mid)     update(l,mid,lson,L,R); 
	if(R>mid)      update(mid+1,r,rson,L,R);    
	pushup(now);      
}    
LL query(int l,int r,int now,int L,int R) 
{ 
	if(l>=L&&r<=R)     
	{    
		return t[now].sum;   
	}
	pushdown(now); 
	int mid=(l+r)>>1;   
	LL re=0ll;  
	if(L<=mid)    re+=query(l,mid,lson,L,R);   
	if(R>mid)     re+=query(mid+1,r,rson,L,R);   
	return re%mod; 
}
int main() 
{ 
	// setIO("input"); 
	int i,j; 
	scanf("%d%d",&n,&m); 
	fib[1]=fib[2]=1; 
	for(i=3;i<N;++i)    fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;     
	for(i=1;i<=n;++i)    scanf("%lld",&sum[i]), (sum[i]+=sum[i-1])%=mod;    
	build(1,n,1);      
	for(i=1;i<=m;++i) 
	{   
		int opt,l,r;     
		scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);        
		if(opt==1) update(1,n,1,l,r); 
		else printf("%lld\n",(query(1,n,1,l,r)+sum[r]-sum[l-1]+mod*2)%mod);    
	}    
	return 0;   
}