容斥计数入门
常见公式：
先给出几个重要的公式/结论：
一些常见的二项式反演：
\(f_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g_i\Rightarrow g_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f_i\)
\(f_{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}g_i\Rightarrow \sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_i\)
\(f_{k}=\sum_{i=k}^{n}(-1)^i\binom{i}{k}g_i\Rightarrow g_k= \sum_{i=k}^{n}(-1)^i\binom{i}{k}f_i\)
\(f_{k}=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g_i\Rightarrow g_k=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f_i\)
证明什么的就先略过了~
广义容斥原理：
设全集元素个数为 \(n\)，\(f(i)\) 表示钦定 \(i\) 个为一组，其余 \(n-i\) 个元素随便弄得方案数，\(g(i)\) 表示恰好有 \(i\) 个发生的方案数. （可以去看分特产）
则有 \(f(k)=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g(i)\)
这是上面二项式反演的一种形式，直接反演，得:
\(g_k=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f_i\)
所以，知道 \(f\) 的情况下可以用二项式反演求 \(g\)
如果 \(f,g\) 的维度很多的话那就对每一个维度都这么拆就行了（比如说后面 bzoj4487)
如果说 \(g\) 非常好求或者 \(f\) 的定义是 "正好" 的话就可以用普通的容斥原理搞来搞去了~
一些例题：
分特产 (luogu 5505)
共有 \(m\) 种物品，每个物品 \(a[i]\) 个，分给 \(n\) 个人，每个人至少要拿到一件，求方案数.
令 \(f[i]\) 表示钦定 \(i\) 个没分到特产，其余 \((n-i)\) 个人随便选的方案数，\(g[i]\) 表示恰好 \(i\) 个没分到特产的方案数.
按照我们之前讲的，有 \(f[k]=\sum_{i=k}^{n}\binom{k}{i}g[i]\Rightarrow g[k]=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f[i]\)
而根据定义，\(f[i]=\binom{n}{i}\times \prod_{j=1}^{m}\binom{a[j]+n-i-1}{n-i-1}\)
所以先预处理 \(f[i]\)，然后求 \(g[0]\) 就好了（恰好 \(0\) 个人没分到特产的方案数）
code:
#include <bits/stdc++.h>
#define N 10005
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1000000007;
void setIO(string s)
{
string in=s+".in";
string out=s+".out";
freopen(in.c_str(),"r",stdin);
}
int a[N];
LL fac[N],inv[N],f[N],g[N];
LL qpow(LL x,LL y)
{
LL tmp=1ll;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
if(y&1) tmp=tmp*x%mod;
return tmp;
}
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); }
LL C(int x,int y)
{
return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int main()
{
// setIO("input");
int i,j,n,m;
fac[0]=inv[0]=1ll;
for(i=1;i<N;++i) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod,inv[i]=Inv(fac[i]);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&a[i]);
for(i=0;i<=n;++i)
{
f[i]=C(n,i);
for(j=1;j<=m;++j) (f[i]=f[i]*C(a[j]+n-i-1,n-i-1)%mod)%=mod;
}
for(i=0;i<=n;++i)
{
(g[0]+=qpow(-1,i)*f[i]%mod+mod)%=mod;
}
printf("%lld\n",g[0]);
return 0;
}
集合计数 (BZOJ 2839)
在一个 \(N\) 个元素集合中的所有子集中选择若干个，且交集大小为 \(k\) 的方案数.
按照之前的套路，令 \(f[k]\) 表示钦定交集大小为 \(k\)，其余随便选的方案数. 令 \(g[k]\) 表示交集恰好为 \(k\) 的方案数.
则有 \(f[k]=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g[k]\)，反演得 \(g[k]=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f[i]\)
而 \(f[k]=\binom{n}{k}2^{2^{n-k}}\)，直接带入求值即可.
code:
#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1000000007;
void setIO(string s)
{
string in=s+".in";
string out=s+".out";
freopen(in.c_str(),"r",stdin);
}
int a[N];
LL fac[N],inv[N],f[N],g[N],poww[N];
LL qpow(LL x,LL y)
{
LL tmp=1ll;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
if(y&1) tmp=tmp*x%mod;
return tmp;
}
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); }
LL C(int x,int y)
{
return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int main()
{
// setIO("input");
int i,j,n,k;
fac[0]=inv[0]=poww[0]=1ll;
scanf("%d%d",&n,&k);
for(i=1;i<=n;++i)
fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod,inv[i]=Inv(fac[i]),poww[i]=poww[i-1]*2ll%(mod-1);
for(i=0;i<=n;++i)
f[i]=C(n,i)*qpow(2,poww[n-i])%mod;
LL ans=0ll;
for(i=k;i<=n;++i)
(ans+=(qpow(-1,i-k)*C(i,k)%mod*f[i]%mod+mod)%mod)%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
小w的喜糖 (BZOJ 4665 )
小w一共买了 \(n\) 块喜糖，发给了 \(n\) 个人，每个喜糖有一个种类。这时，小w突发奇想，如果这n个人相互交换手中的糖，那会有多少种方案使得每个人手中的糖的种类都与原来不同。
还是考虑容斥：为了方便，我们将同一种糖果也依次编号，这样在计算时候会简便一些.
令 \(f[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 种糖果，\(j\) 个人拿到同种糖果的方案数.
则有转移：\(f[i][j]=\sum_{k=0}^{min(j,cnt[i])}f[i-1][j-k]\times \binom{cnt[i]}{k} \times A_{cnt[i]}^{k}\)
考虑这个转移的组合意义：我们在 \(i\) 糖果中强制选择 \(k\) 个人拿同样的糖果，为 \(\binom{cnt[i]}{k}\)
而每一个人分别有：\(cnt[i],cnt[i]-1,......\) 种选择，即总共是 \(A_{cnt[i]}^{k}\) 种选糖方案（编号不同）
那么选择人的方案 $\times $ 选择糖的方案 = \(i\) 种糖中选择 \(k\) 个人，每个人都拿自己种类的方案数.
得到 \(f[n][i]\) 后，让其他 \((n-i)\) 个人随便选，即 \(f[n][i]\times (n-i)!\Rightarrow f[n][i]\)
推出 \(f[n][i]\) 后就简单了（这个组合意义是强制让 \(i\) 个人拿到自己糖的组合方案）
直接上二项式反演，得 \(g[0]=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\times f[n][i]\)
别忘了，最后还有除一下阶乘，因为我们把每个糖得不同编号也看作不同了~
code:
#include <bits/stdc++.h>
#define N 2005
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1000000009;
void setIO(string s)
{
string in=s+".in";
freopen(in.c_str(),"r",stdin);
}
int cnt[N],sum[N];
LL fac[N],inv[N],f[N][N];
LL qpow(LL x,LL y)
{
LL tmp=1ll;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
if(y&1) tmp=tmp*x%mod;
return tmp;
}
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); }
LL C(int x,int y) { return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod; }
LL A(int x,int y) { return fac[x]*inv[x-y]%mod; }
int main()
{
// setIO("input");
int i,j,n,k;
scanf("%d",&n);
fac[0]=inv[0]=1ll;
for(i=1;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod,inv[i]=qpow(fac[i],mod-2);
for(i=1;i<=n;++i)
{
int x;
scanf("%d",&x),++cnt[x];
}
for(i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+cnt[i];
f[0][0]=1ll;
for(i=1;i<=n;++i)
{
for(j=0;j<=sum[i];++j)
{
for(k=0;k<=min(cnt[i],j);++k)
(f[i][j]+=f[i-1][j-k]*C(cnt[i],k)%mod*A(cnt[i],k)%mod)%=mod;
}
}
LL ans=0ll;
for(i=0;i<=n;++i)
{
LL d=(i&1)?-1:1;
(ans+=(d*f[n][i]%mod+mod)*fac[n-i]%mod)%=mod;
}
for(i=1;i<=n;++i) ans=ans*inv[cnt[i]]%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
毒瘤选举
有 \(n\) 个选民和 \(m\) 个候选人，每个选民只能投一张票，求有多少种方案使得每个候选人至少得到一张选票.
考虑容斥：令 \(f[k]\) 表示钦定 \(k\) 个候选人得不到选票的方案数，\(g[k]\) 表示恰好 \(k\) 个得不到选票的方案数.
那么有 \(f[k]=\binom{m}{k}\times (m-k)^n\)
而依据定义，\(f[k]=\sum_{i=k}^{m}\binom{i}{k}\times g[i]\)
二项式反演，得 \(g[k]=\sum_{i=k}^{m}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}\times f[i]\)，带入求值即可.
原题的话模数是一个合数，但是可以被拆成若干个互不相同质数的乘积，需要用扩展CRT，这里就让模数是质数.
code:
#include <bits/stdc++.h>
#define N 10005
#define LL long long
using namespace std;
void setIO(string s)
{
string in=s+".in";
freopen(in.c_str(),"r",stdin);
}
const LL mod=1000000007;
LL fac[N],inv[N],f[N];
LL qpow(LL x,LL y)
{
LL tmp=1ll;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
if(y&1)
tmp=tmp*x%mod;
return tmp;
}
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); }
LL C(int x,int y) { return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod; }
int main()
{
// setIO("input");
int i,j,n,m;
fac[0]=inv[0]=1ll;
for(i=1;i<N;++i) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod,inv[i]=Inv(fac[i]);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=0;i<=m;++i)
f[i]=C(m,i)*qpow(m-i,n)%mod;
LL ans=0ll;
for(i=0;i<=m;++i)
{
LL d=(i&1)?-1:1;
(ans+=(d*f[i]%mod+mod)%mod)%=mod;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
染色问题 （BZOJ 4487）
给定 \(n\times m\) 的棋盘和 \(c\) 种颜色，要求对棋盘染色且每一行，每一列至少要被染上一种颜色，且 \(c\) 种颜色都要用上.
求方案数模 \(10^9+7\)
还是和以前一样，列 \(f_{i,j,k}\) 表示钦定 \(i\) 行 \(j\) 列未染色，\(k\) 种颜色未用上的方案数.
\(f_{i,j,k}=\binom{n}{i}\binom{m}{j}\binom{c}{k}(c-k+1)^{(n-i)(m-j)}\)
令 \(g_{i,j,k}\) 表示恰好的方案数，但是发现这个是 \(3\) 维的，而上面的都是二维的.
这里直接给出多维的容斥公式：
\(g_{i,j,k}=\sum_{x=i}^{n}\sum_{y=j}^{m}\sum_{l=k}^{c}(-1)^{l-k+x-i+y-j}\binom{l}{k}\binom{x}{i}\binom{y}{j}f_{x,y,l}\)
这里 \(i,j,k\) 都等于 \(0\)，直接套用即可.
code:
#include <bits/stdc++.h>
#define N 504
#define LL long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
const LL mod=1000000007;
LL fac[N],inv[N],poww[N*N];
LL qpow(LL x,LL y)
{
LL tmp=1ll;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
if(y&1)
tmp=tmp*x%mod;
return tmp;
}
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); }
LL C(int x,int y) { return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod; }
int main()
{
// setIO("input");
int n,m,c,i,j;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
fac[0]=inv[0]=1ll;
for(i=1;i<N;++i) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod,inv[i]=Inv(fac[i]);
LL ans=0ll;
for(int k=0;k<=c;++k)
{
poww[0]=1ll;
for(i=1;i<=n*m;++i) poww[i]=poww[i-1]*1ll*(c-k+1)%mod;
for(i=0;i<=n;++i)
for(j=0;j<=m;++j)
{
LL d=((i+j+k)&1)?-1:1;
(ans+=(C(n,i)*C(m,j)%mod*C(c,k)%mod*poww[(n-i)*(m-j)]%mod*d+mod)%mod)%=mod;
}
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
染色（luogu 4491)
给定长度为 \(n\) 的序列, 每个位置都可以被染成 \(m\) 种颜色中的某一种. 如果恰好出现了 \(s\) 次的颜色有 \(k\) 种, 则会产生 \(w_{k}\) 的价值. 求对于所有可能的染色方案，获得价值和对 \(1004535809\) 取模的结果.
设 \(lim=min(m,\frac{n}{s})\)，即最大可能的颜色出现种类.
按照套路，令 \(f[i]\) 表示钦定 \(i\) 种长度为 \(s\) 出现的方案数，\(g[i]\) 表示恰好 \(i\) 种出现的方案数.
\(f[k]=\binom{m}{k}\frac{n!}{(n-ks)!(s!)^k}(m-k)^{n-ks}\)
组合意义就是选 \(ks\) 个位置放出现次数为 \(s\) 的颜色，然后其余部分随便放.
而 \(g[k]=\sum_{i=k}^{lim}\binom{i}{k}(-1)^{i-k}f[i]\)
因为我们要算贡献，所以要求 \(g[1]....g[lim]\) ，而上面的式子是 \(O(lim^2)\) 的.
考虑优化：
将上面 \(\binom{i}{k}\) 展开，得 \(g[k]=\frac{1}{k!}\sum_{i=k}^{lim} \frac{(-1)^{i-k}}{(i-k)!}f[i]\times i!\)
令 \(a[i]=\frac{(-1)^i}{i!}\)，\(b[i]=f[i]\times i!\) ，则 \(g[k]=\frac{1}{k!}\sum_{i=k}^{lim} a[i-k]\times b[i]\)
这是一个标准的卷积形式！
直接用 NTT 加速即可.
#include <bits/stdc++.h>
#define N 800005
#define LL long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
const LL G=3;
const LL mod=1004535809;
LL A[N],B[N],Ct[N],f[N],g[N],fac[10000008],inv[10000007],val[N];
LL qpow(LL x,LL y)
{
LL tmp=1ll;
for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
if(y&1)
tmp=tmp*x%mod;
return tmp;
}
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); }
void NTT(LL *a,int n,int flag)
{
int i,j,k,mid;
for(i=k=0;i<n;++i)
{
if(i>k) swap(a[i],a[k]);
for(j=n>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
}
for(mid=1;mid<n;mid<<=1)
{
LL wn=qpow(G,(mod-1)/(mid<<1));
if(flag==-1) wn=Inv(wn);
for(i=0;i<n;i+=(mid<<1))
{
LL w=1ll;
for(j=0;j<mid;++j)
{
LL x=a[i+j],y=w*a[i+mid+j]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
w=w*wn%mod;
}
}
}
if(flag==-1)
{
LL re=Inv(n);
for(i=0;i<n;++i) a[i]=a[i]*re%mod;
}
}
LL C(int x,int y) { return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod; }
int main()
{
// setIO("input");
int n,m,s,i,j,lim;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(i=0;i<=m;++i) scanf("%lld",&val[i]);
lim=min(m,n/s);
inv[0]=fac[0]=1ll;
int pp=max(n,m);
for(i=1;i<=pp;++i)
{
fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod;
}
inv[max(n,m)]=qpow(fac[max(n,m)],mod-2);
for(i=max(n,m)-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
for(i=0;i<=lim;++i)
{
f[i]=C(m,i)*fac[n]%mod*inv[n-i*s]%mod*qpow(inv[s],i)%mod*qpow(m-i,n-i*s)%mod*fac[i]%mod;
}
for(i=0;i<=lim;++i) A[i]=(inv[i]*(i&1?-1:1)+mod)%mod;
for(i=0;i<=lim;++i) B[lim-i]=f[i];
LL ans=0ll;
int tmp=1;
while(tmp<=lim*2) tmp<<=1;
NTT(A,tmp,1),NTT(B,tmp,1);
for(i=0;i<tmp;++i) Ct[i]=A[i]*B[i]%mod;
NTT(Ct,tmp,-1);
for(i=0;i<=lim;++i) g[i]=Ct[lim-i]*inv[i]%mod;
for(i=0;i<=lim;++i)
{
(ans+=g[i]*val[i]%mod)%=mod;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
第二类斯特林数
这个的推导过程会用到二项式反演.
令 \(S(n,m)\) 表示将 \(n\) 个互不相同的元素装进 \(m\) 个相同盒子，且盒子不能为空的方案数.
朴素递推：\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)\times m\)
因为盒子不为空，所以第一种情况只能放入最新的盒子，而第二种情况的话 \(m\) 个盒子可以随便放.
这个太慢了，考虑二项式反演：
假设 \(n\) 固定，我们要求 \(S(n,m)\) ，则令 \(f[k]\) 表示钦定 \(k\) 个盒子为空，其余随便选的方案，\(g[k]\) 表示恰好.
则有 \(f[k]=\binom{m}{k}(m-k)^n=\sum_{i=k}^{m}\binom{i}{k}g[i]\)
反演，得 \(g[0]=\sum_{i=0}^{m}(-1)^if[i]\).
注意：这里实际上默认将不同得盒子看作不同，所以还要除一个阶乘.
那么，就有 \(S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\binom{m}{i}(m-i)^n\)
我们把组合数展开，然后约掉最外面的 \(\frac{1}{m!}\) 就会得到：\(S(n,m)=\sum_{i=0}^{m}\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(m-i)^n}{(m-i)!}\)
这个用 NTT 加速多项式乘法来算即可.
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
int n;
const ll mod=167772161,G=3,N=400006;
ll f[N<<1],g[N<<1],fac[N],inv[N];
ll qpow(ll x,ll y)
{
ll tmp=1ll;
while(y)
{
if(y&1) tmp=tmp*x%mod;
y>>=1,x=x*x%mod;
}
return tmp;
}
void NTT(ll *a,int len,int flag)
{
int i,j,k,mid;
for(i=k=0;i<len;++i)
{
if(i>k) swap(a[i],a[k]);
for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
}
for(mid=1;mid<len;mid<<=1)
{
ll wn=qpow(G,(mod-1)/(mid<<1));
if(flag==-1) wn=qpow(wn,mod-2);
for(i=0;i<len;i+=(mid<<1))
{
ll w=1ll;
for(j=0;j<mid;++j)
{
ll x=a[i+j],y=w*a[i+mid+j]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
w=w*wn%mod;
}
}
}
if(flag==-1)
{
ll re=qpow(len,mod-2);
for(i=0;i<len;++i) a[i]=a[i]*re%mod;
}
}
int main()
{
// setIO("input");
scanf("%d",&n);
fac[0]=1ll;
inv[0]=1ll;
int i,j,limit=1;
for(i=1;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod, inv[i]=qpow(fac[i],mod-2);
for(i=0;i<=n;++i)
{
g[i]=qpow(i,n)*inv[i]%mod;
if(i&1) f[i]=mod-inv[i];
else f[i]=inv[i];
}
for(;limit<=2*(n+1);limit<<=1);
NTT(f,limit,1),NTT(g,limit,1);
for(i=0;i<limit;++i) f[i]=f[i]*g[i]%mod;
NTT(f,limit,-1);
for(i=0;i<=n;++i) printf("%lld ",f[i]);
return 0;
}
