BZOJ 3193: [JLOI2013]地形生成 计数 + 组合 + 动态规划

第一问：

先不考虑山的高度有相同的：直接按照高度降序排序，试着将每一座山插入到前面山的缝隙中.

• 当然，这并不代表这些山的相对位置是固定的，因为后面高度更低的山是有机会插入进来的，所以就可以做到将所有情况都考虑到. 
• 假设现在要插入第 $i$ 座山，前面已插入了 $i-1$ 座比当前山高的山，那么当前能插入的选择应该是 $min(key_{i},i)$ 种. (既然前面的山都高于第 $i$ 座，所以能且只能插入到这些位置上). 
• 令 $f_{i}$ 表示从大到小插入了 $i$ 座山的方案数，则 $f_{i}=f_{i-1}\times min(key_{i},i)$

 

现在将高度相同的情况考虑进去：

• 如果像之前高度不同的做法取做的话高度相同的山会互相牵制.
• 为了不让这种情况发生，我们令高度相同的第 $i$ 座山的 $key$ 变为 $key+same(i)$，即加上一个在它之前和它高度相同的数量. 
• 然而，这样做的话可能会出现非法情况，即可能会多出来一些.为了不让这种情况出现，我们在排序的时候高度相同的按照关键字从小到大排序.

 

第二问：

令 $f[i][j]$ 表示相同高度，排完序后编号为 $[l,r]$ 的山中，插进第 $i$ 个，且插入到所有山中 $j$ 位置前的方案数.
$i$ 有两种插入方式：

1. 插到第 $j$ 座山的前面，则 $i-1$ 也需要插进前 $j$，故 $f[i-1][j]\Rightarrow f[i][j]$.
2. 插入到前 $j-1$ 座山里面，则直接调用 $f[i][j-1]$ 即可.

综上，$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$，可以用滚动数组滚起来.

#include <cstdio>  
#include <cstring>        
#include <algorithm> 
#define N 1009 
#define mod 2011   
#define ll long long 
#define setIO(s) freopen(s".in", "r" , stdin)   
using namespace std; 
int n ; 
struct Node 
{
    int key, h; 
}t[N];     
bool cmp(Node a, Node b) 
{
    return a.h == b.h ? a.key < b.key : a.h > b.h;   
} 
namespace case1 
{ 
    int f[N], key[N], tmp[N];    
    int main() 
    {  
        int i ;     
        f[0] = 1;   
        for(i = 1; i <= n ; ++ i) 
        { 
            key[i] = t[i].key;         
            if(t[i].h == t[i - 1].h) key[i] += tmp[i - 1], tmp[i] = tmp[i - 1] + 1;    
            else tmp[i] = 1;   
            f[i] = (ll) (f[i - 1] * min(key[i],  i)) % mod;      
        }    
        printf("%d ", f[n]);  
        return 0;    
    } 
};  
namespace case2
{ 
    int f[N];      
    int main() 
    {
        int i , j, k, pos, ans = 1; 
        for(i = 1 ; i <= n ; i = pos + 1) 
        { 
            pos = i; 
            while(pos < n && t[pos + 1].h == t[pos].h) ++ pos;  
            memset(f, 0, sizeof(f)), f[0] = 1;           
            for(j = i ; j <= pos ; ++ j) 
                for(k = 1 ; k <= min(i - 1, t[j].key - 1); ++ k) 
                    f[k] = (f[k] + f[k - 1]) % mod;    
            int re = 0;   
            for(j = 0; j <= min(i - 1, t[pos].key - 1) ; ++ j) re = (re + f[j]) % mod;  
            ans = ans * re % mod;        
        }   
        printf("%d\n", ans);     
        return 0; 
    }
}; 
int main() 
{
    //   setIO("input");     
    int i , j; 
    scanf("%d", &n);    
    for(i = 1; i <= n ; ++ i) 
        scanf("%d%d", &t[i].h, &t[i].key);    
    sort(t + 1, t + 1 + n, cmp);      
    case1::main(), case2::main();  
    return 0; 
}