BZOJ 4176: Lucas的数论 莫比乌斯反演 + 杜教筛

Description

去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。

在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。

求如下表达式的值：

 

其中 表示ij的约数个数。

他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。

Input

第一行一个整数n。

Output

 一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。

题解：

[SDOI2015]约数个数和 得出的结论：

$Ans=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{n}{xd} \right \rfloor\sum_{y=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{m}{yd} \right \rfloor$

 

这里 $n,m$ 相等

$\Rightarrow Ans=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)(\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{n}{xd} \right \rfloor)^2$

 

由于 $n<=10^9$ , 需要用杜教筛来算 $\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$

 

后面的 $(\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{n}{xd} \right \rfloor)^2$ 直接暴力计算就行.

#include<bits/stdc++.h>
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
#define maxn 10000004 
#define M 5000001 
#define ll long long
using namespace std;
const long long mod = 1000000007; 
int cnt; 
ll sumv[maxn]; 
bool vis[maxn]; 
int prime[maxn], mu[maxn]; 
inline void Linear_shaker()
{
	mu[1]=1; 
	int i,j; 
	for(i=2;i<=M;++i)
	{
		if(!vis[i]) prime[++cnt]=i, mu[i]=-1; 
		for(j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=M;++j) 
		{
			vis[i*prime[j]]=1; 
			if(i%prime[j]==0) 
			{
				mu[i*prime[j]]=0; 
				break; 
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i]; 
		}
	}
	for(i=1;i<=M;++i) sumv[i]=(sumv[i-1]+1ll*mu[i]+mod)%mod;   
}
inline ll Sum(ll n)
{
	ll i,j,re=0; 
	for(i=1;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i); 
		re+=(j-i+1)%mod*(n/i)%mod; 
		re%=mod; 
	}
	return re;   
}
map<int,ll>ansmu; 
ll Get(ll n)
{
	if(n<=M) return sumv[n]; 
	if(ansmu[n]) return ansmu[n];  
	ll i,j,re=0; 
	for(i=2;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i); 
		re=(re+(j-i+1ll*1)%mod*(Get(n/i))%mod)%mod;  
	}
	return ansmu[n]=(1ll-re+mod)%mod; 
}
int main()
{
	// setIO("input"); 
	Linear_shaker(); 
	ll i,j,re=0; 
	int n; 
	scanf("%d",&n);    
	for(i=1;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i); 
		re=(re+((Get(j)-Get(i-1)+mod)%mod*Sum(n/i)%mod*Sum(n/i)%mod)%mod)%mod; 
	}
	printf("%lld\n",re); 
	return 0; 
}