BZOJ 3527: [Zjoi2014]力 FFT
Description
给出n个数qi,给出Fj的定义如下:
![](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201701/11.jpg)
令Ei=Fi/qi,求Ei.
Input
第一行一个整数n。
接下来n行每行输入一个数,第i行表示qi。
n≤100000,0<qi<1000000000
Output
n行,第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可
题解:
按照定义,$E_{j}=\frac{F_{j}}{q_{j}}$
这里为了方便,把所有下标都 $-1$
即 $E_{j}=\sum_{i=0}^{j}\frac{q{i}}{(i-j)^2}-\sum_{i=j+1}^{n-1}\frac{q_{i}}{(i-j)^2}$
令 $g_{i}=\frac{1}{i^2}$
原式 $\Rightarrow \sum_{i=0}^{j}g_{j-i}q_{i}-\sum_{i=j+1}^{n-1}g_{i-j}q_{i}$
先考虑怎么求 $\sum_{i=0}^{j}g_{j-i}q_{i}$,由于下标和恒等于 $j$ ,所以直接把 $g$ 和 $q$ 相乘即可
再考虑怎么求 $\sum_{i=j+1}^{n-1}g_{i-j}q_{i}$,下标和不相等,那就进行反转,反转 $q$ 更为方便一些
令 $p_{i}=q_{n-i-1}$,$\sum_{i=j+1}^{n-1}g_{i-j}p_{n-i-1}$
下标和为 $n-j-1$ ,是一个定值,直接多项式相乘即可
#include <cmath> #include <cctype> #include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> using namespace std; #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) const int maxn = 300000; const double pi=3.1415926535898; int t, n, len=1, l, r[maxn*2]; struct Cpx{ double x,y; Cpx (double t1=0,double t2=0){x=t1,y=t2;} }A[maxn<<1],B[maxn<<1],C[maxn<<1],B2[maxn<<1],A2[maxn<<1],C2[maxn]; Cpx operator+(Cpx a,Cpx b){ return Cpx(a.x+b.x,a.y+b.y);} Cpx operator - (Cpx a, Cpx b){ return Cpx(a.x-b.x, a.y-b.y); } Cpx operator * (Cpx a, Cpx b){ return Cpx(a.x*b.x-a.y*b.y, a.x*b.y+a.y*b.x); } void FFT(Cpx *a,int n,int flag){ for(int i=0;i<n;++i) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]); for(int mid=1;mid<n;mid<<=1){ Cpx wn(cos(pi/mid), flag*sin(pi/mid)),x,y; for(int j=0;j<n;j+=(mid<<1)){ Cpx w(1,0); for(int k=0;k<mid;++k) { x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k]; a[j+k]=x+y; a[j+mid+k]=x-y; w=w*wn; } } } } int main(){ //setIO("input"); scanf("%d",&n); for(int i = 1;i <= n; ++i) scanf("%lf",&A[i].x),A2[n - i + 1] = A[i].x; for(int i = 1;i <= n; ++i) B[i].x = 1.000 / (double) ((1.0 * i) * (1.0 * i)) ; while(len < n + n) len <<= 1,++l; for(int i = 0;i < len; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l-1)); FFT(A,len,1),FFT(B,len,1),FFT(A2,len,1); for(int i = 0;i < len ; ++i) C[i] = A[i] * B[i]; for(int i = 0;i < len ; ++i) C2[i] = A2[i] * B[i]; FFT(C,len,-1),FFT(C2,len,-1); for(int i = 0;i < len; ++i) C2[i].x /= len,C[i].x /= len; for(int i = 1;i <= n; ++i) printf("%.3f\n",C[i].x - C2[n - i + 1].x); return 0; }