冲刺国赛模拟 32
玄学。
树
赛时以为 \(O(mn^22^n),m=200,n=15\) 拿头跑 \(2s\)，结果题解甚至 \(m3^n\) 跑过……蚌埠了。
首先你发现题目要求保留边使得连通的方案数。发现这玩意和 \(\ln\) 长得类似，于是设 \(g_S\) 为一个 \(m\) 次多项式，\(g_{i,S}\) 为 \(S\) 导出子图内选 \(i\) 条边方案，然后取个 \(\ln\) 就得到答案，复杂度 \(O(m^2n^22^n)\)，插点值算可以做到 \(O(mn^22^n)\)，不知道怎么过的。
由于有重边自环，所以懒得写了，贺了份 \(m3^n\) 的，更不知道怎么过的，而且跑的还挺快。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,m,jc[210],inv[210];
int C(int n,int m){
if(n<m||m<0)return 0;
return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
vector<int>g[20];
int size[1<<15],tmp[20],dp[1<<15][210],f[210][210];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);jc[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<=m;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(int i=1;i<=m;i++)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
if(u==v){
size[1<<u]++;tmp[u]++;
}
else g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
}
for(int s=1;s<(1<<n);s++){
int x=__lg(s&-s);
size[s]=size[s^(s&-s)]+tmp[x];
for(int v:g[x]){
if((s>>v)&1)size[s]++;
}
}
for(int i=0;i<=tmp[0];i++)dp[0][i]=C(tmp[0],i);
for(int s=1;s<(1<<n-1);s++){
int k=size[s<<1|1];
for(int i=0;i<=k+1;i++){
for(int j=0;j<=k+1;j++)f[i][j]=0;
}
for(int t=s&(s-1);t;t=s&(t-1)){
for(int i=0;i<=size[t<<1|1];i++)f[i][size[(s^t)<<1]]=(f[i][size[(s^t)<<1]]+dp[t][i])%mod;
}
for(int i=0;i<=size[1];i++)f[i][size[s<<1]]=(f[i][size[s<<1]]+dp[0][i])%mod;
for(int i=0;i<=k;i++){
for(int j=k;j>=1;j--){
f[i+1][j-1]=(f[i+1][j-1]+f[i][j])%mod;
f[i][j-1]=(f[i][j-1]+f[i][j])%mod;
}
}
for(int i=1;i<=k;i++)dp[s][i]=(C(k,i)-f[i][0]+mod)%mod;
}
for(int i=n-1;i<=m;i++)printf("%d ",dp[(1<<n-1)-1][i]);puts("");
return 0;
}
差
神奇的 dp 构造题。
考虑 \(a\) 的差分 \(c\)，那么 \(b_i=\max(|c_i|,|c_{i+1}|,|c_i+c_{i+1}|)\)。设 \(dp_{i,x}\) 为考虑前 \(i\) 个，\(|c_i|=x\) 是否合法。转移考虑填入 \(c_{i+1}\) 的三种情况：
- \(|c_i|=b_i\)：需要 \(|c_{i+1}|\le b_i\)。
- \(|c_{i+1}|=b_i\)：只要有个 \(c_i\) 就行。
- \(|c_i+c_{i+1}|=b_i\)：\(|c_{i+1}|=b_i-|c_i|\)。
那么发现 dp 的合法部分一定是由一个区间和若干单点组成。前两个操作可以变成删除一个前缀或后缀，第三个是先把整个区间翻转，然后平移 \(b_i\)。于是区间可以直接记录下来。单点的话可以用上个双端队列维护。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <list>
#define int long long
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,B,b[1000010],ans[1000010],lz[1000010];
pair<int,int>dp[1000010],del[1000010];
vector<int>v[1000010],fr[1000010],bk[1000010];
list<int>q;
signed main(){
scanf("%lld%lld",&n,&B);
for(int i=1;i<=n-2;i++)scanf("%lld",&b[i]);
for(int i=0;i<=n-2;i++)del[i]=make_pair(1,0);
dp[0]=make_pair(0,inf);
for(int i=1;i<=n-2;i++){
if(dp[i-1].first<=b[i]&&dp[i-1].second>=b[i]){
dp[i]=make_pair(0,b[i]);
while(!q.empty())v[i].push_back(q.front()),q.pop_front();
continue;
}
while(!q.empty()&&q.front()*del[i-1].first+del[i-1].second>b[i])fr[i].push_back(q.front()),q.pop_front();
while(!q.empty()&&q.back()*del[i-1].first+del[i-1].second>b[i])bk[i].push_back(q.back()),q.pop_back();
if(!q.empty()&&(q.front()*del[i-1].first+del[i-1].second==b[i]||q.back()*del[i-1].first+del[i-1].second==b[i])){
dp[i]=make_pair(0,b[i]);
while(!q.empty())v[i].push_back(q.front()),q.pop_front();
continue;
}
if(del[i-1].first)del[i]=make_pair(-del[i-1].first,b[i]-del[i-1].second);
else del[i]=make_pair(-1,b[i]);
if(q.empty()&&dp[i-1].first>b[i]){
puts("NO");return 0;
}
dp[i]=make_pair(b[i]-min(dp[i-1].second,b[i]),b[i]-dp[i-1].first);
if(dp[i-1].first>b[i])dp[i]=make_pair(inf,inf);
if(dp[i].second!=b[i]&&(q.empty()||(q.front()*del[i].first+del[i].second!=b[i]&&q.back()*del[i].first+del[i].second!=b[i]))){
if(q.empty()){
q.push_back((b[i]-del[i].second)*del[i].first);
lz[i]=1;
}
else{
if(q.front()*del[i].first+del[i].second>q.back()*del[i].first+del[i].second){
q.push_front((b[i]-del[i].second)*del[i].first);
lz[i]=-1;
}
else{
q.push_back((b[i]-del[i].second)*del[i].first);
lz[i]=1;
}
}
}
}
puts("YES");
ans[n-1]=dp[n-2].first;
if(!q.empty())ans[n-1]=min(ans[n-1],min(q.front()*del[n-2].first+del[n-2].second,q.back()*del[n-2].first+del[n-2].second));
for(int i=n-2;i>=1;i--){
if(lz[i]>0)q.pop_back();
if(lz[i]<0)q.pop_front();
if(v[i].size()){
q.clear();
for(int x:v[i])q.push_back(x);
}
if((dp[i-1].first<=b[i]&&dp[i-1].second>=b[i])||(!q.empty()&&(!q.empty()&&(q.front()*del[i-1].first+del[i-1].second==b[i]||q.back()*del[i-1].first+del[i-1].second==b[i])))){
ans[i]=ans[i+1];
if(ans[i+1]<ans[i+2])ans[i]+=b[i];
else ans[i]-=b[i];
while(!fr[i].empty())q.push_front(fr[i].back()),fr[i].pop_back();
while(!bk[i].empty())q.push_back(bk[i].back()),bk[i].pop_back();
continue;
}
while(!fr[i].empty())q.push_front(fr[i].back()),fr[i].pop_back();
while(!bk[i].empty())q.push_back(bk[i].back()),bk[i].pop_back();
int x=abs(ans[i+1]-ans[i+2]),y;
if(x!=b[i])y=b[i]-x;
else y=min(dp[i-1].first,min(q.front()*del[i-1].first+del[i-1].second,q.back()*del[i-1].first+del[i-1].second));
ans[i]=ans[i+1]+(((x!=b[i])^(ans[i+1]<ans[i+2]))?y:-y);
}
int mn=inf;
for(int i=1;i<=n;i++)mn=min(mn,ans[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",ans[i]-mn);puts("");
return 0;
}
贼
对。这玩意 std 不压行 9k，意见是不要改。
快踩
