一些树穴（2）
心生不少异或。不过不是很重要。不过心理并不是 Boolean Algebra。
搞科研大抵是挺拼情怀的，纯数更甚。我不晓得我能不能有那个情怀坚持下来还是跳车。现在就开始规划大学四年大概还是为时过早而且并不会有什么结果，所以无奈只能暂且放下。
梦又来了，令人欢喜但是挺不理解的，而且已经开始影响我的睡眠质量了。好像一直都在影响，最起码做梦之后醒来会很困。我很喜欢，但是暂时不清楚正经的影响是好是坏。很想看看如果再加深一点会对精神状态造成什么影响。而且中午也开始做梦。
不如在模拟赛后半段做一些推导和证明的练习。顺便记录一些新奇的小发现。
今天中午歌叫啥？感觉好熟悉。@Kafuuchinocpp
才发现上一场 CodeTon 是丁真 Round。
首先是关于 \(n\) 的本质不同质因子个数 \(\omega(n)\) 的一个界：\(O\left(\dfrac{\log n}{\log\log n}\right)\)。这个界确实挺优秀的了。
考虑拆成两半：设有 \(m\le n\)，
左边显然 \(\le \pi(m)\approx\dfrac m{\log m}\)，看右边。右边设个数为 \(cnt\)，则显然有 \(m^{cnt}\le n\)，即 \(cnt\le\dfrac{\log n}{\log m}\)。
于是 \(\omega(n)\le\dfrac m{\log m}+\dfrac{\log n}{\log m}\)，取 \(m=\log n\) 即得。
看到的神秘东西：一种十分有趣的不构造确定性实例的构造性证明。
证明如下命题：存在无理数的无理数次幂是有理数。
证明：构造实数 \(p=(\sqrt 2)^{\sqrt 2}\)（用后来的一些结论可以知道它是超越的）：
- 假设它是有理数，则得证。
- 假设它是无理数，则 \(p^{\sqrt 2}=(\sqrt 2)^2=2\)，是有理数。由此得证。
于是我们在没有确定 \(p\) 是否是有理数的情况下构造性证明了该命题。
还有别的应用吗？我没见过。
一个“又分析又数论”而且十分魔幻的题：设 \(P(n)\) 为 \(n\) 的最大质因子，证明对于几乎所有正整数 \(q\ge 2\) 和所有整数 \(p\)，有
成立。
先把魔幻的一步放在这里：设 \(S(n)\) 为最小的 \(k\) 满足 \(n|k!\)，Erdos 说对于几乎所有 \(n\) 有 \(S(n)=P(n)\)。
然后就是如何科学地推导到这里。先证明一个结论：对任意整数 \(m\) 和正整数 \(n\) 有
成立。
感觉挺分析的一个证明：构造区间套 \(I_1,I_2,\cdots\)，满足
于是对于任意 \(n\)，只需要考虑 \(\frac m{n!}\) 为 \(I_n\) 左端点的情况，由于 \(I\) 收敛到 \(e\)，则显然成立。
于是代入 \(m=\dfrac{pS(q)!}q,n=S(q)\)，则立即得到上式。
upd：找到了论文 https://arxiv.org/abs/0704.1282 ，证了个 \(e\) 的无理性。
一道送温暖小题，听说是高联的，但是定位大概和 OI 科技题类似。都挺显然的，就放出来给看一下，不写过程了。
求
的最小正整数解。
最早看见这个东西说来惭愧是寒假的时候看见刘汝佳的 WC 课件。很多人知道这玩意的解是什么。不知道的可以手算一下） 我把答案放到下边一行 \(\LaTeX\) 注释里边。
具体计算过程确实是椭圆曲线。然而刘汝佳给的 Quora 链接没梯子貌似上不去。
贺个简要过程：大体是先通分成 \(a^3+b^3+c^3-3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)-5abs=0\) 然后换个元得到 \(y^2=x^3+109x^2+224x\) ，然后找到一个有理点 \((-100,260)\) 然后一直迭代到：
就得解了。以后找时间看 GTM106。
赶紧去 tm 做 NOI 题。题还没改完呢。
