数学分析（4） 导数和微分

典中典。高中课本导数居然是正经定义，震撼。一直以为高中课本很野鸡，这下在我心里形象改善不少。

老熟人了，因此大多数东西略掉了。

反函数的导数

一句话：

\[\frac{\text dx}{\text dy}=\frac 1{\frac{\text dy}{\text dx}} \]

举个例子：\(y=\arcsin x\) 的导数。

原来是 \(y=\sin x\)，反函数为 \(x=\sin y\)。套公式：

\[y'=\frac 1{\cos y}=\frac 1{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac 1{\sqrt{1-x^2}} \]

基本初等函数的导数公式

抄一遍。

\[y=c\qquad y'=0 \]

\[y=x^a\qquad y'=ax^{a-1} \]

\[y=a^x\qquad y'=a^x\ln a \]

\[y=\log_a x\qquad y'=\frac 1{x\ln a} \]

\[y=\sin x\qquad y'=\cos x \]

\[y=\cos x\qquad y'=-\sin x \]

\[y=\tan x\qquad y'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x} \]

\[y=\cot x\qquad y'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x} \]

\[y=\arcsin x\qquad y'=\frac 1{\sqrt{1-x^2}} \]

\[y=\arccos x\qquad y'=-\frac 1{\sqrt{1-x^2}} \]

\[y=\arctan x\qquad y'=\frac 1{1+x^2} \]

\[y=\text{arccot }x\qquad y'=-\frac 1{1+x^2} \]

再来个典中典：可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导。一个例子仍然是 \(f(x)=x\sin\dfrac 1x,f(0)=0\)。

单侧导数：\(\dfrac{\text\Delta y}{\text\Delta x}\) 只有单侧极限的时候为单侧导数。

无穷导数：导数定义式的比值趋于 \(\infty\) 时为无穷导数。

微分的形式不变性：微分的形式在原来的自变量换成新的自变量之后仍然保持。举个例子：设 \(y=f(x),x=g(t)\)，那么 \(\text dy=y_x'\text dx=y_t'\text dt\).

参变量方程：形如

\[\begin{cases} y=\psi(t)\\ x=\varphi(t) \end{cases} \]

的方程为参变量方程。它的导数是

\[\frac{\text dy}{\text dx}=\frac{\frac{\text dy}{\text dt}}{\frac{\text dx}{\text dt}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

根据微分，也有简单的近似公式：\(\Delta f(x_0)=f'(x_0)\Delta x\)。

微分学基本定理

费马定理：设函数 \(f(x)\) 在某区间 \(\mathcal X\) 定义，且在区间的内点（不是边界的点）\(c\) 取得最值，若在该点有有限导数 \(f'(c)\)，则 \(f'(c)=0\)。

证明：首先有个显然道理：有有限导数且不是 \(0\) 的位置 \(x_0\)，若 \(f'(x_0)>0\) 则在 \(x_0\) 增大，反之减小。那么假设他不成立，那么要么最值在右边要么最值在左边，一定不是它，矛盾。

注意不是内点不一定成立，反例较为显然。

达布定理：若 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内有有限导数，则 \(f'(x)\) 必至少一次取得介于 \(f'(a)\) 和 \(f'(b)\) 的每个值。

证明：假设 \(f'(a),f'(b)\) 不同号。由于可导，于是 \(f(x)\) 在区间内连续。由魏尔斯特拉斯第二定理，\(f(x)\) 在区间内一点 \(c\) 取得最值。又因为 \(f'(a)\neq 0,f'(b)\neq 0\)，因此 \(c\) 为内点。又由费马定理得到一定有 \(f(c)=0\)。对于一般的情况，导数上下平移即可，即给原来的函数 \(f(x)\) 减个 \(Cx\)，前提条件仍然成立。

接下来是一个基本而重要的定理：

罗尔定理：设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则 \((a,b)\) 间必有一点 \(c\) 使得 \(f'(c)=0\)。

证明：显然 \(f(x)\) 能取到最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)。相等的情况是平凡的，考虑不等。由于 \(f(a)=f(b)\)，那么一定会在 \((a,b)\) 间的点 \(c\) 取得最值之一，那么这个位置的导数就是 \(0\)。

一个直接的、更强的推论是如下的拉格朗日中值定理：设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 可导，则 \((a,b)\) 间必有点 \(c\) 满足

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \]

证明：几何意义十分直观，就是把罗尔定理旋转一个角度。那事实上代数上的证明直接构造函数 \(F(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\) 然后使用罗尔定理即可。

由此定理能够得到公式：考虑区间 \([x_0,x_0+\Delta x]\)，其中任意数 \(c\) 能够以 \(x_0+\theta\Delta x\) 表示。于是就有

\[\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0+\theta\Delta x) \]

表示变元 \(x\) 的任意有限增量时的函数增量的表达式。

导数只有第二类间断点。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广：对于在 \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导的 \(f(x),g(x)\)，且 \(g'(x)\) 在 \((a,b)\) 内恒不为 \(0\)，则\((a,b)\) 间必有一点 \(c\) 满足

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \]

证明：首先 \(g(a)\neq g(b)\)，因为根据罗尔定理，若相等则必有 \(g'(c)=0\)。然后仍然构造辅助函数 \(F(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))\) 并应用罗尔定理即得。

高阶导数和微分

高阶导就是求若干次导。

另有类似二项式定理的莱布尼茨公式：

\[(uv)^{(n)}=\sum_{i=0}^n\binom niu^{(i)}v^{(n-i)} \]

证明类似二项式定理。

高阶微分莫得形式不变性，也就是不能链式法则。然而仍然可以嗯拆：

\[\frac{\text d^2y}{\text dx^2}=\frac{\text d\left(\frac{\text dy}{\text dx}\right)}{\text dx}=\frac{\text dx\text d^2y-\text d^2x\text dy}{\text dx^3} \]

若 \(x\) 为自变量，则有 \(\text d^2x,\text d^3x\) 等都为 \(0\)。若为参变量，则得到所谓参变量微分法。

泰勒公式

对于函数 \(f(x)\)，有泰勒公式

\[f(x)=\sum_{i=0}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i \]

在 \(x_0=0\) 处的特殊情形为麦克劳林公式。它是函数近似的一种重要方法。

自然要估计余项。皮亚诺余项 \(r_n(x)=o((x-x_0)^{n+1})\) 是显然的。另有施勒米尔希 - 罗什余项

\[r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!p}(1-\theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1} \]

在 \(p=n+1\) 时即得到形式上简单的拉格朗日余项。

插值

拉格朗日插值略。值得一提的是它有余项

\[\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}\prod_{i=1}^m(x-x_i) \]