数学分析(4) 导数和微分
典中典。高中课本导数居然是正经定义,震撼。一直以为高中课本很野鸡,这下在我心里形象改善不少。
老熟人了,因此大多数东西略掉了。
反函数的导数
一句话:
举个例子:
原来是
基本初等函数的导数公式
抄一遍。
再来个典中典:可导一定连续,连续不一定可导,不连续一定不可导。一个例子仍然是
单侧导数:
无穷导数:导数定义式的比值趋于
微分的形式不变性:微分的形式在原来的自变量换成新的自变量之后仍然保持。举个例子:设
参变量方程:形如
的方程为参变量方程。它的导数是
根据微分,也有简单的近似公式:
微分学基本定理
费马定理:设函数
证明:首先有个显然道理:有有限导数且不是
注意不是内点不一定成立,反例较为显然。
达布定理:若
证明:假设
接下来是一个基本而重要的定理:
罗尔定理:设
证明:显然
一个直接的、更强的推论是如下的拉格朗日中值定理:设
证明:几何意义十分直观,就是把罗尔定理旋转一个角度。那事实上代数上的证明直接构造函数
由此定理能够得到公式:考虑区间
表示变元
导数只有第二类间断点。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广:对于在
证明:首先
高阶导数和微分
高阶导就是求若干次导。
另有类似二项式定理的莱布尼茨公式:
证明类似二项式定理。
高阶微分莫得形式不变性,也就是不能链式法则。然而仍然可以嗯拆:
若
泰勒公式
对于函数
在
自然要估计余项。皮亚诺余项
在
插值
拉格朗日插值略。值得一提的是它有余项
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