数学分析(4) 导数和微分

典中典。高中课本导数居然是正经定义,震撼。一直以为高中课本很野鸡,这下在我心里形象改善不少。

老熟人了,因此大多数东西略掉了。

反函数的导数

一句话:

dxdy=1dydx

举个例子:y=arcsinx 的导数。

原来是 y=sinx,反函数为 x=siny。套公式:

y=1cosy=11sin2y=11x2

基本初等函数的导数公式

抄一遍。

y=cy=0

y=xay=axa1

y=axy=axlna

y=logaxy=1xlna

y=sinxy=cosx

y=cosxy=sinx

y=tanxy=sec2x=1cos2x

y=cotxy=csc2x=1sin2x

y=arcsinxy=11x2

y=arccosxy=11x2

y=arctanxy=11+x2

y=arccot xy=11+x2

再来个典中典:可导一定连续,连续不一定可导,不连续一定不可导。一个例子仍然是 f(x)=xsin1x,f(0)=0

单侧导数\Deltay\Deltax 只有单侧极限的时候为单侧导数。

无穷导数:导数定义式的比值趋于 时为无穷导数。

微分的形式不变性:微分的形式在原来的自变量换成新的自变量之后仍然保持。举个例子:设 y=f(x),x=g(t),那么 dy=yxdx=ytdt.

参变量方程:形如

{y=ψ(t)x=φ(t)

的方程为参变量方程。它的导数是

dydx=dydtdxdt=ψ(t)φ(t)

根据微分,也有简单的近似公式:Δf(x0)=f(x0)Δx

微分学基本定理

费马定理:设函数 f(x) 在某区间 X 定义,且在区间的内点(不是边界的点)c 取得最值,若在该点有有限导数 f(c),则 f(c)=0

证明:首先有个显然道理:有有限导数且不是 0 的位置 x0,若 f(x0)>0 则在 x0 增大,反之减小。那么假设他不成立,那么要么最值在右边要么最值在左边,一定不是它,矛盾。

注意不是内点不一定成立,反例较为显然。

达布定理:若 f(x) 在区间 [a,b] 内有有限导数,则 f(x) 必至少一次取得介于 f(a)f(b) 的每个值。

证明:假设 f(a),f(b) 不同号。由于可导,于是 f(x) 在区间内连续。由魏尔斯特拉斯第二定理,f(x) 在区间内一点 c 取得最值。又因为 f(a)0,f(b)0,因此 c 为内点。又由费马定理得到一定有 f(c)=0。对于一般的情况,导数上下平移即可,即给原来的函数 f(x) 减个 Cx,前提条件仍然成立。

接下来是一个基本而重要的定理:

罗尔定理:设 f(x)[a,b] 连续,在 (a,b) 可导,且 f(a)=f(b),则 (a,b) 间必有一点 c 使得 f(c)=0

证明:显然 f(x) 能取到最大值 M 和最小值 m。相等的情况是平凡的,考虑不等。由于 f(a)=f(b),那么一定会在 (a,b) 间的点 c 取得最值之一,那么这个位置的导数就是 0

一个直接的、更强的推论是如下的拉格朗日中值定理:设 f(x)[a,b] 连续,在 (a,b) 可导,则 (a,b) 间必有点 c 满足

f(b)f(a)ba=f(c)

证明:几何意义十分直观,就是把罗尔定理旋转一个角度。那事实上代数上的证明直接构造函数 F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)ba(xa) 然后使用罗尔定理即可。

由此定理能够得到公式:考虑区间 [x0,x0+Δx],其中任意数 c 能够以 x0+θΔx 表示。于是就有

f(x0+Δx)f(x0)Δx=f(x0+θΔx)

表示变元 x 的任意有限增量时的函数增量的表达式。

导数只有第二类间断点。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广:对于在 [a,b] 连续,(a,b) 可导的 f(x),g(x),且 g(x)(a,b) 内恒不为 0,则(a,b) 间必有一点 c 满足

f(b)f(a)g(b)g(a)=f(c)g(c)

证明:首先 g(a)g(b),因为根据罗尔定理,若相等则必有 g(c)=0。然后仍然构造辅助函数 F(x)=f(x)f(a)f(b)f(a)g(b)g(a)(g(x)g(a)) 并应用罗尔定理即得。

高阶导数和微分

高阶导就是求若干次导。

另有类似二项式定理的莱布尼茨公式

(uv)(n)=i=0n(ni)u(i)v(ni)

证明类似二项式定理。

高阶微分莫得形式不变性,也就是不能链式法则。然而仍然可以嗯拆:

d2ydx2=d(dydx)dx=dxd2yd2xdydx3

x 为自变量,则有 d2x,d3x 等都为 0。若为参变量,则得到所谓参变量微分法

泰勒公式

对于函数 f(x),有泰勒公式

f(x)=i=0f(i)(x0)i!(xx0)i

x0=0 处的特殊情形为麦克劳林公式。它是函数近似的一种重要方法。

自然要估计余项。皮亚诺余项 rn(x)=o((xx0)n+1) 是显然的。另有施勒米尔希 - 罗什余项

rn(x)=f(n+1)(x0+θ(xx0))n!p(1θ)n+1p(xx0)n+1

p=n+1 时即得到形式上简单的拉格朗日余项。

插值

拉格朗日插值略。值得一提的是它有余项

f(m+1)(ξ)(m+1)!i=1m(xxi)

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