数学分析（4） 导数和微分

典中典。高中课本导数居然是正经定义，震撼。一直以为高中课本很野鸡，这下在我心里形象改善不少。

老熟人了，因此大多数东西略掉了。

反函数的导数

一句话：

$$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}}$$

举个例子：$y=\arcsin x$ 的导数。

原来是 $y=\sin x$，反函数为 $x=\sin y$。套公式：

$$y^{\prime }=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

基本初等函数的导数公式

抄一遍。

$$y=c{y}^{\prime }=0$$

$$y=x^a{y}^{\prime }=a{x}^{a-1}$$

$$y=a^x{y}^{\prime }=a^x\ln a$$

$$y={\log }_{a}x{y}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$$

$$y=\sin x{y}^{\prime }=\cos x$$

$$y=\cos x{y}^{\prime }=-\sin x$$

$$y=\tan x{y}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

$$y=\cot x{y}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$$

$$y=\arcsin x{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$y=\arccos x{y}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$y=\arctan x{y}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

$$y=\text{arccot }x{y}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

再来个典中典：可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导。一个例子仍然是 $f(x)=x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}},f(0)=0$。

单侧导数：${\displaystyle \frac{\text{Delta}y}{\text{Delta}x}}$ 只有单侧极限的时候为单侧导数。

无穷导数：导数定义式的比值趋于 $\mathrm{\infty }$ 时为无穷导数。

微分的形式不变性：微分的形式在原来的自变量换成新的自变量之后仍然保持。举个例子：设 $y=f(x),x=g(t)$，那么 $\text{d}y=y_x^{\prime }\text{d}x=y_t^{\prime }\text{d}t$.

参变量方程：形如

$$\{\begin{array}{l}y=\psi (t)\\ x=\phi (t)\end{array}$$

的方程为参变量方程。它的导数是

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\frac{\text{d}y}{\text{d}t}}{\frac{\text{d}x}{\text{d}t}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$

根据微分，也有简单的近似公式：$\mathrm{\Delta }f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$。

微分学基本定理

费马定理：设函数 $f(x)$ 在某区间 $\mathcal{X}$ 定义，且在区间的内点（不是边界的点）$c$ 取得最值，若在该点有有限导数 $f^{\prime }(c)$，则 $f^{\prime }(c)=0$。

证明：首先有个显然道理：有有限导数且不是 $0$ 的位置 $x_0$，若 $f^{\prime }(x_0)>0$ 则在 $x_0$ 增大，反之减小。那么假设他不成立，那么要么最值在右边要么最值在左边，一定不是它，矛盾。

注意不是内点不一定成立，反例较为显然。

达布定理：若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内有有限导数，则 $f^{\prime }(x)$ 必至少一次取得介于 $f^{\prime }(a)$ 和 $f^{\prime }(b)$ 的每个值。

证明：假设 $f^{\prime }(a),f^{\prime }(b)$ 不同号。由于可导，于是 $f(x)$ 在区间内连续。由魏尔斯特拉斯第二定理，$f(x)$ 在区间内一点 $c$ 取得最值。又因为 $f^{\prime }(a)\ne 0,f^{\prime }(b)\ne 0$，因此 $c$ 为内点。又由费马定理得到一定有 $f(c)=0$。对于一般的情况，导数上下平移即可，即给原来的函数 $f(x)$ 减个 $Cx$，前提条件仍然成立。

接下来是一个基本而重要的定理：

罗尔定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $(a,b)$ 间必有一点 $c$ 使得 $f^{\prime }(c)=0$。

证明：显然 $f(x)$ 能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$。相等的情况是平凡的，考虑不等。由于 $f(a)=f(b)$，那么一定会在 $(a,b)$ 间的点 $c$ 取得最值之一，那么这个位置的导数就是 $0$。

一个直接的、更强的推论是如下的拉格朗日中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，则 $(a,b)$ 间必有点 $c$ 满足

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$

证明：几何意义十分直观，就是把罗尔定理旋转一个角度。那事实上代数上的证明直接构造函数 $F(x)=f(x)-f(a)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ 然后使用罗尔定理即可。

由此定理能够得到公式：考虑区间 $[x_0,x_0+\mathrm{\Delta }x]$，其中任意数 $c$ 能够以 $x_0+\theta \mathrm{\Delta }x$ 表示。于是就有

$$\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x)$$

表示变元 $x$ 的任意有限增量时的函数增量的表达式。

导数只有第二类间断点。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广：对于在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导的 $f(x),g(x)$，且 $g^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内恒不为 $0$，则$(a,b)$ 间必有一点 $c$ 满足

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$

证明：首先 $g(a)\ne g(b)$，因为根据罗尔定理，若相等则必有 $g^{\prime }(c)=0$。然后仍然构造辅助函数 $F(x)=f(x)-f(a)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))$ 并应用罗尔定理即得。

高阶导数和微分

高阶导就是求若干次导。

另有类似二项式定理的莱布尼茨公式：

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})u^{(i)}{v}^{(n-i)}$$

证明类似二项式定理。

高阶微分莫得形式不变性，也就是不能链式法则。然而仍然可以嗯拆：

$$\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{\text{d}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}x{\text{d}}^{2}y-{\text{d}}^{2}x\text{d}y}{\text{d}{x}^3}$$

若 $x$ 为自变量，则有 ${\text{d}}^{2}x,{\text{d}}^{3}x$ 等都为 $0$。若为参变量，则得到所谓参变量微分法。

泰勒公式

对于函数 $f(x)$，有泰勒公式

$$f(x)=\sum _{i=0}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i$$

在 $x_0=0$ 处的特殊情形为麦克劳林公式。它是函数近似的一种重要方法。

自然要估计余项。皮亚诺余项 $r_n(x)=o((x-x_0{)}^{n+1})$ 是显然的。另有施勒米尔希 - 罗什余项

$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{n!p}(1-\theta {)}^{n+1-p}(x-x_0{)}^{n+1}$$

在 $p=n+1$ 时即得到形式上简单的拉格朗日余项。

插值

拉格朗日插值略。值得一提的是它有余项

$$\frac{f^{(m+1)}(\xi )}{(m+1)!}\prod _{i=1}^m(x-x_i)$$