数学分析（3） 一元函数

joke3579 在到校前的上午仍然给我审稿，拜谢 joke3579 的学术精神。

感觉考我们组的题的时候通过率很岌岌可危，于是先把致歉帖写好了。希望国内比赛比 ucup 稍微水一点……吧？我搬的题放在了 T4，一个十分套路的题，希望大家倒序开题。

为什么有背 \(\pi\) 的没有背 \(e\) 的？SoyTony：背 \(\pi\) 的大概不知道 \(e\) 是啥。很有道理，我看知乎的时候也有一车不知道 \(e\) 是啥。不过高中 whker 大概也不知道为啥 \(e\) 是这个数？这我不是很确定，不过高中课本连极限都莫得。

咋数学博动不动就写几 k。在外地集训真的大脑停电。咋今天写了 5k。

函数

函数的定义自己翻初二数学课本。函数的三种表示方法也去看初二课本。以后提到函数不另外说明则都是单值函数。

初等函数：幂指对三角反三角及其复合。

\(\arcsin\) 值域 \([-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2]\)，\(\arccos\) 值域 \([0,\pi]\)，\(\arctan\) 值域 \((-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2)\)。

一些反三角的三角恒等变换：

\[\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}) \]

\[\arccos x=\frac\pi 2-\arcsin x \]

\[\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy} \]

\[\arctan x=\arcsin\frac x{\sqrt{1+x^2}} \]

\[\arcsin x=\arctan\frac x{\sqrt{1-x^2}} \]

函数的极限

邻域：以点 \(a\) 为中心的开区间 \((a-\delta,a+\delta)\) 为 \(a\) 的邻域。

聚点：若在点 \(a\) 的任意邻域内包含数集 \(S\) 中异于 \(a\) 的 \(x\) 值，则 \(a\) 是 \(S\) 的聚点。聚点可以属于或不属于 \(S\)。

于是有函数极限的定义：若对于任意 \(\epsilon>0\) 有 \(\delta>0\)，满足当 \(|x-a|<\delta\) 时 \(|f(x)-A|<\epsilon\)，则 \(x\) 趋于 \(a\) 时 \(f(x)\) 的极限是 \(A\)，记作 \(\lim_{x\to a}f(x)=A\)。

若把以上的 \(x\) 规定为 \(x>a\)，则 \(a\) 为右聚点，\(A\) 为右极限，记作 \(\lim_{x\to a^+}f(x)\)。同理有左极限 \(\lim_{x\to a^-}f(x)\)。\(a\) 也可以是 \(\pm\infty\)。

一个十分显然且有用的定理是：极限存在的充要条件为左右极限都存在且相等。

于是有了函数的无穷小和无穷大的概念：函数 \(f(x)\) 趋于 \(0\) 时为无穷小，趋于 \(\infty\) 时为无穷大。

函数的极限也可以联系到序列的极限：有 Heine 定理：对于定义域 \(I\) 内任意收敛于 \(x_0\) 且每项都不等于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n\}\) 都有 \(f(x_n)\to a\)，则 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\)。它的逆命题也是成立的。

两个重要的极限：一个是 \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1\)，另一个是 \(e\)。

函数极限的一些性质和数列极限是一样的。而对于极限存在的判定法布尔查诺 - 柯西判定法，也是有一般化的定义的：

函数 \(f(x)\) 当 \(x\to a\) 时存在有限极限的充要条件是：\(\forall \epsilon>0,\exists\delta>0,\)，当 \(|x-a|<\delta,|x'-a|<\delta\) 时有 \(|f(x)-f(x')|<\epsilon\)。

函数也是存在上 / 下极限的：对于 \(x\to a\) 时即使无确定极限，但是只要存在序列有极限那么这个极限为部分极限。所有部分极限中最大的为上极限，最小的为下极限。函数有确定极限的充要条件仍然是上极限等于下极限。

无穷小 / 大的分阶

以无穷小为例。它们的分阶取决于它们的比：若两无穷小 \(\alpha,\beta\) 的比 \(\dfrac\beta\alpha\) 有有限极限，则 \(\alpha,\beta\) 同阶。若趋于无穷小，则 \(\beta\) 为比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta=o(\alpha)\)，反之为低阶无穷小。

也有不能比较的无穷小，如 \(x\) 和 \(x\sin\dfrac 1x\) 在 \(x\to 0\) 时。

若有一个基本无穷小作为单位，那么它的 \(k\) 次正指数幂就是它的高阶无穷小，另一个无穷小 \(\beta\) 和它们比较就能得到 \(\beta\) 是关于这个基本无穷小的若干阶无穷小。

等价无穷小：若无穷小 \(\alpha,\beta\) 的差 \(\gamma=\beta-\alpha\) 是比 \(\alpha,\beta\) 都更高阶的无穷小（事实上只有一个就可以推出另一个），则它们为等价无穷小，记作 \(\alpha\sim\beta\)。它的充要条件是 \(\lim\dfrac\beta\alpha=0\)。

用基本无穷小 \(\alpha\) 的 \(k\) 次幂乘上某个常数 \(c\) 可以表示另一个无穷小 \(\beta\)，此时 \(c\alpha^k\) 为 \(\beta\) 的主部。

无穷大的分阶的定义也是类似的。

函数的连续和间断

若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 有定义，则 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) 时函数在 \(x_0\) 连续，否则间断。两函数若在同一点 \(x_0\) 连续，则它们的四则运算后的结果也在 \(x_0\) 连续。若 \(g(x_0)=y\) 在 \(x_0\) 连续，且 \(f(y)\) 在 \(y\) 连续，则 \(f(g(x_0))\) 在 \(x_0\) 连续。

类似极限，也有单侧连续的定义：把极限改成左 / 右极限即可得到左 / 右连续和间断的概念。连续也等价于左右同时连续。

于是对于间断，可以有间断点的分类：若有有限的左右极限，则为第一类间断点，其中左右极限相等为可去间断点，不等为跳跃间断点。左右极限有至少一个不存在或为无穷，则为第二类间断点，也可以分无穷间断点和震荡间断点。

单调函数若有间断点则一定是第一类间断点。于是可以有单调函数的连续性判断方法：若在区间 \(\mathcal X\) 内的单调函数 \(f(x)\) 的数值都在区间 \(\mathcal Y\) 内且填满 \(\mathcal Y\)，即对于 \(\mathcal Y\) 内的每个数值 \(y\) 至少有一次被取得函数数值，则函数在 \(\mathcal X\) 内连续。

初等函数在定义域内是连续的。

函数的连续性在计算极限时的应用

几个算极限的例子。

1. 对于 \(x\in\mathbb R\)，有

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x \]

证明：可以拆成

\[\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac xn\right)^{\frac nx}\right]^x \]

里边是 \(e\)，然后根据幂函数的连续性，整个的极限为 \(e^x\)。

2. 另一个极限是

\[\lim_{x\to\infty}\sqrt[k]{(x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_k)}-x \]

应用一个恒等式

\[y-z=\frac{y^k-z^k}{\prod_{i=0}^{k-1}y^iz^{k-1-i}} \]

可以得到极限为

\[\frac{\sum_{i=1}^ka_i}k \]

一个有意思的事实是对满足 \(a_n\to a\) 的序列 \(\{\ln a_n\}\) 使用 stolz 公式：根据对数函数的连续性，

\[\lim\ln\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}=\lim\frac{\sum_{i=1}^n\ln a_i}n=\ln a \]

于是得到如下结论：对于正序列 \(a_n\) 有极限，则 \(b_n=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\) 有同一极限。

应用与另一个序列 \(a_1,\dfrac{a_2}{a_1},\dfrac{a_3}{a_2},\cdots\) 有一个另外的推论：

\[\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n} \]

3. 接下来是三个极限

\[\lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)}x=\log_a e \]

证明：只需把 \(\dfrac 1x\) 扔到 \(\log\) 里边。

\[\lim_{x\to 0}\frac{x^x-1}x=\ln x \]

证明：考虑构造 \(y=x^x-1\)，则有

\[\lim_{x\to 0}\frac{x^x-1}x=\lim_{y\to 0}\frac y{\log_a(y+1)}=\ln a \]

最后一个是

\[\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}x=a \]

证明：考虑设 \(y=(1+x)^a-1\)，则 \(a\ln(1+x)=\ln(y+1)\)，即有原式为

\[\frac yx=\frac y{\ln(1+y)}\frac{a\ln(1+x)}x=a \]

4. 接下来是有关处理在指数上的变量的方法：取个 \(\ln\) 拉下来。

举例：求 \(\lim_{x\to\infty}(\ln x)^{\frac 1x}\)。

设 \(y=(\ln x)^{\frac 1x}\)，则 \(\ln y=\frac{\ln\ln x}x=0\)。于是 \(y=1\)。

一个计算极限时重要的点：乘除可以随便换等价无穷小，加也行，但是减必须要两个相减的无穷小不为等价无穷小，因为真实结果下主元会消成 \(0\) 变成高阶无穷小，但是如果换了得到的就是 \(0\)。

连续函数的性质

首先我们有零点定理：设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 内定义且连续，\(f(a),f(b)\) 异号，则 \(a,b\) 间必有点 \(c\) 满足 \(f(c)=0\)。

然后是它更强的形式介值定理：设 \(f(x)\) 为某区间 \(\mathcal X\) 内定义且连续的函数，若在两点 \(a,b\)（\(a<b\)）处函数有不相等的数值 \(f(a)=A,f(b)=B\)，则对于任意 \(A,B\) 间的数 \(C\)，必能找到 \(a,b\) 间点 \(c\) 满足 \(f(c)=C\)。注意它的逆命题不成立，反例是 \(f(x)=\sin\dfrac 1x,x\neq 0\)，并定义 \(f(0)=0\)。好像一个更加极端的反例是康威十三进制函数，不懂。

而对于单调函数的反函数，同样有性质：单调连续函数的单值反函数也是单调连续的，且单调性相同。证明是不难的。

函数的有界性

开区间的连续函数不一定有界，如 \(f(x)=\dfrac 1x\)。但是闭区间是有的，称作魏尔斯特拉斯第一定理。证明考虑反证，假设在 \([a,b]\) 内无界，那么对于每个自然数 \(n\) 必存在 \(x_n\) 满足 \(|f(x_n)|\ge n\)。而我们可以从 \(\{x_n\}\) 中得到部分序列 \(\{x_{n_k}\}\) 收敛于有限极限 \(x_0\) 满足 \(a\le x_0\le b\)，由于连续则满足 \(f(x_{n_k})\to f(x_0)\)，但 \(f(x_{n_k})\ge n_k\)，发散，矛盾。

类似的，有魏尔斯特拉斯第二定理：闭区间内连续函数必能达到上下确界。证明略。上确界减下确界称为振幅。

一致连续

一致连续的定义：在区间 \(\mathcal X\) 上对于 \(\forall\epsilon>0\)，有 \(\delta>0\)，使得对于 \(\forall x,x_0\) 满足 \(|x-x_0|<\delta\)，有 \(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\) 成立，则 \(f(x)\) 在 \(\mathcal X\) 上一致连续。
容易发现连续不一定一致连续，一个经典的反例仍然是 \(f(x)=\sin\dfrac 1x\)。但是闭区间连续一定一致连续，这叫做康托定理。仍然可以反证法然后使用布尔查诺 - 魏尔斯特拉斯引理证明。

一个有必要且直接的推论是：对于闭区间 \([a,b]\) 内的连续函数 \(f(x)\)，对于给定的 \(\epsilon>0\) 可以得到 \(\delta>0\)，使得若把区间任意分为长度小于 \(\delta\) 的部分区间，每个区间内的振幅 \(<\epsilon\)。

博雷尔引理

若闭区间 \([a,b]\) 被开区间的无穷集 \(\Sigma=\{\sigma\}\) 覆盖，则恒能从 \(\Sigma\) 里选出有限子系 \(\Sigma*\) 覆盖 \([a,b]\)。

证明：仍然运用布尔查诺方法。假设不能覆盖，则分两半，至少一个不能被有限个区间覆盖，然后对这个区间继续分割。那么必有一个极限点只需要一个区间就能覆盖，矛盾。

这个引理可以证明以上的一系列引理，篇幅有限，略去。