数学分析（2） 数列极限

不得不说同济高数是本相当不错的入门教材，没读过的真的建议读一下，并且做一下习题。当然这本书里的许多东西都有些简略，也是篇幅所限。不过足够让人知道基本概念了。

Soytony 说为什么要推荐同济高数，不是天天被 d 吗。这里澄清一下，我对入门的定义是让你知道这是个什么东西，迷迷糊糊地就过去了。真要深挖确实没必要看。

数列极限

高中课本是否有极限概念？待查证。

定义数列的极限为对于 \(\forall \epsilon>0,\exists N,\forall n>N,|x_n-a|<\epsilon\)，则 \(a\) 为数列 \(\{x_n\}\) 的极限，记作 \(\lim_{n\to\infty}x_n=a\) 或 \(x_n\to a\)，称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)。

根据极限，我们可以定义无穷小的概念：极限为 \(0\) 的序列的 \(\{x_n\}\) 为无穷小量。于是可以从无穷小的角度给出极限的另一个定义：若 \(\lim_{n\to\infty}x_n-a=0\)，则 \(a\) 是 \(\{x_n\}\) 极限。

同理有无穷大的概念：从某项开始，绝对值保持大于任意大数。此时 \(x_n\to\infty\)。一个简单的关系是无穷大和无穷小互为倒数。

于是我们现在可以用定义法求出一些数列的极限，如 \(x_n=\frac 1n\) 的极限是 \(0\)。

对于两个多项式作比的情况，如 \(x_n=\dfrac{n^2-n+2}{3n^2+2n-4}\)，可以提出一个最高次项 \(n^2\)，然后发现后边都是无穷小，于是极限为 \(\frac 13\)。

我们也可以得到无穷级数的定义：将数列写成一次相加的“部分和”的形式：

\[A=\sum_{i=1}a_i \]

\(A\) 为它的和。有有限和的级数称为收敛的，反之为发散的。

数列极限的性质

1. 若 \(\lim_{n\to\infty}x_n=a,a>p\)，则从某项开始 \(x_n>p\)。小于同理。

2. 有界性：收敛序列有界，即任意值的绝对值不超过某个数。

   证明：考虑 \(M'>|a|\)，那么从某项 \(N\) 开始恒有 \(|x_n|<M'\)，那么 \(M=\max(M',x_1,\cdots x_n)\)。

3. 唯一性：数列若收敛则极限唯一。

4. 保序性：若两数列 \(\{x_n\},\{y_n\}\) 满足 \(\forall n,x_n\ge y_n\)，则其极限 \(a,b\) 满足 \(a\ge b\)。

5. 夹逼定理：若数列 \(\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}\) 满足 \(x_n\le y_n\le z_n\)，且 \(\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=a\)，则 \(\lim_{n\to\infty}y_n=a\)。

此外，极限可以四则运算，同实数的四则运算。

无穷小的定理

1. 任意有限个无穷小的和为无穷小。

   证明：根据无穷小定义，可以找到 \(\{a_n\}\) 在某个位置小于 \(\dfrac{\epsilon}2\)，两个加起来还是无穷小。

2. 有界变量和无穷小的乘积仍然是无穷小。证明类似上边。

不定式的极限

形如 \(\dfrac 00,\dfrac\infty\infty,0\cdot\infty,\infty-\infty\) 的极限为不定式。

我们有 Stolz 定理解决不定式的极限问题：设数列 \(y_n\to\infty\)，且从某一项开始 \(y_n\) 单调增，则极限

\[\lim\frac{x_n}{y_n}=\lim\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} \]

事实上我们可以借助这个定理证明如下定理：若 \(a_n\) 有极限，则 \(b_n=\dfrac{\sum_{i=1}^na_i}n\) 有同一极限。（p.s. 这个东西如果在 \(a_n\) 无极限的时候是发散级数极限的一种定义法，叫 Cesaro 极限）

e

考虑序列

\[x_n=\left(1+\frac 1n\right)^n \]

的极限。根据二项式定理展开得到

\[\begin{aligned} x_n=&\sum_{i=0}^n\binom ni\left(\frac 1n\right)^i\\ =&\sum_{i=0}^n\frac 1{i!}n^{\underline i}\frac 1{n^i}\\ <&\sum_{i=0}^n\frac 1{i!}\\ <&\sum_{i=0}^n\frac 1{2^i} \end{aligned} \]

最后得到的几何级数是收敛的，于是得到原序列是收敛的。记这个极限为 \(e\)。

收敛原理

我们在这里指出序列是否有有限极限的一般的判定方法：收敛原理。

（布尔查诺 - 柯西定理）数列 \(\{x_n\}\) 有有限极限的充要条件是：\(\forall\epsilon>0,\exists N,\forall n>N,n'>N,|x_{n'}-x_n|<\epsilon\)。

必要性显然，证明充分性。

考虑 \(a_n=\inf_{k\ge n}x_k,b_n=\sup_{k\ge n}x_k\)，那么 \(a_n\le a_{n+1},b_n\ge b_{n+1}\)。根据条件，有 \(x_n-x_{n'}<\epsilon\)，那么 \(x_n<x_{n'}+\epsilon\)，即上有界，则 \(b_n\le x_{n'}+\epsilon\)。由此，有 \(a_{n'}\ge b_n-epsilon\)，则 \(b_n-a_n\to 0\)。根据夹逼定理即得到 \(x\) 有极限。

上 / 下极限

一个数列的部分数列就是子序列。一个定理是若数列有极限，则部分数列有相同的极限。但是反过来不一定成立，如 \(a_n=(-1)^n\) 取所有奇数 / 偶数位置为子列。

关于子列的极限，我们有布尔查诺 - 魏尔斯特拉斯引理：对任意有界数列总有收敛于有限极限的子列。

证明：考虑值域为 \([a,b]\)。对半分，则必有一遍有无穷个数。取无穷个数的一半接着分，仍然能分出类似的值域区间，且区间长度趋于 \(0\)。在每个区间内取一个数（一定是可以取到的，因为每个区间都有无穷个数），那么这个序列是收敛的。这种等分考察区间的方法称为布尔查诺方法。

这样，任意序列都有部分极限。若在所有部分极限内取得最大的和最小的，则分别称为上 / 下极限，记作 \(\varlimsup x_n\) 和 \(\varliminf x_n\)。

定理：序列上下极限存在且相等是序列有极限的充要条件。事实上由这个定理可以简单地证明上边的引理。