数学分析（1） 实数

找到一套菲砖的 pdf，有要的可以找我。

不会算子理论，民科一下然后被学弟薄纱了，我自裁。但是不会就不会吧！有时间再去看具体数学。

这是数分笔记。没错我就是啥也不会才来学数学。T1 dp 疯狂算重十分自闭。

\(\LaTeX\) 注释倒点垃圾。

\[%学数学的动力确实还是有的，但是天天垫属实是自闭。 %先不论我数学水平怎么样，OI的能力包括思维能力是真的在逐渐流失。 %而且我的时间大抵是只有一个月了，但是我这点实力能不能 Ag 都不好说。 %也许我是个更加偏向 MO 的人，但是我这点民科水平似乎也不太支持。那只能算个“数学爱好者”。 %那大概我只能是相对失败的。带着一堆不知道从哪里来的对数学的兴趣嗯搞，结果就这样。 %现在旁边的三个刚见了不到一个星期的大哥都知道我在学数分高代。 %算了感觉这辈子是废了。什么时候重开？ \]

实数

首先来定义实数是什么东西。

先来定义序：对集合 \(S\) 和二元关系 \(\le\)，有如下性质：

1. 自反性：\(\forall a\in S,a\le a\)。
2. 反对称性：\(\forall a,b\in S,a\le b\wedge b\le a\Rightarrow a=b\)。
3. 传递性：\(\forall a,b,c\in S,a\le b\wedge b\le c\Rightarrow a\le c\)。
4. 完全性：\(\forall a,b\in S,a\le b\vee b\le a\)。
   \(S\) 满足 \(1,3\) 为预序集，满足 \(1,2,3\) 为偏序集，满足 \(1,2,3,4\) 为全序集。

对于域 \((F,+,\times)\)，若有全序 \(\le\) 且满足：

1. 加法序关系：\(\forall a,b,c\in F,a\le b\Rightarrow a+c\le b+c\)。
2. 乘法序关系：\(\forall a,b\in F,0\le a\wedge 0\le b\Rightarrow 0\le a\times b\)。

则称 \((F,+,\times)\) 为有序域。

然后是实数满足的重要公理：完备性。全序集 \(\mathbb R\) 满足完备性的定义是满足戴德金原理：

首先定义 \(R\) 上的分割 \(A|B\)，它满足：

1. \(A\neq\emptyset\wedge B\neq\emptyset\)。
2. \(A\cup B=\mathbb R\)。
3. \(\forall a\in A,b\in B,a<b\)。

其中 \(A\) 为下组，\(B\) 为上组。

那么有 \(\exists c\in\mathbb R,\forall a\in A,b\in B,a\le c\le b\)。

它的一个等价表述是：对于 \(A,B\subseteq\mathbb R\)，有 \(\forall a\in A,b\in B,a\le b\)，则 \(\exists c\in\mathbb R,\forall a\in A,b\in B,a\le c\le b\)。

于是我们终于可以定义什么是实数了：

若 \((\mathbb R,+,\times)\) 是有序域且 \(\mathbb R\) 有完备性，则 \((\mathbb R,+,\times)\) 是实数域。

容易发现，实数域有性质稠密性：对于两实数 \(a,b\) 满足 \(a>b\)，则恒有有理数 \(c\) 满足 \(a>c>b\)。

证明：考虑数 \(a\) 的分划（一个数的分划为上组的最小值为 \(a\) 的分划）的下组 \(A\) 包含 \(b\) 的下组 \(B\) 且不相等，那么 \(a\) 内必定有有理数 \(c\not\in B\)，于是必定属于上组 \(B'\)，则 \(c\ge b\) 当且仅当 \(b\) 为有理数。但 \(A\) 无最大数，于是可以取更大，满足上式。

在本节最后，我们定义数集的界的概念：若对于数集 \(S\) 存在数 \(M\) 满足 \(\forall x\in S,x\le M\)，则其上有界， \(M\) 为上界。最小的上界为上确界，记做 \(\sup S\)。可以类似定义下界和下确界（记做 \(\inf S\)）的概念。

如果数集不上 / 下有界，那么其上下界为 \(\pm\infty\)。正负无穷是广义实数。

一个显然的结论是有界必有确界。

实数的运算

首先实数域中四则运算和等式不等式的运算是不变的。从 \(\mathbb R\) 是域可以省去很多繁杂证明。那么上边的就略去。

绝对值

绝对值运算：\(|x|=\max(x,-x)\)。有一些显然的不等式：\(|a+b|\le|a|+|b|,||a|-|b||\le|a-b|\) 等。

那么定义两个实数的距离 \(d(a,b)=|a-b|\)。它满足性质：

1. 若 \(a\neq b\)，则 \(d(a,b)>0\)。
2. \(d(p,q)=d(q,p)\)。
3. 三角不等式：\(\forall r\in\mathbb R,d(p,q)\le d(p,r)+d(q,r)\)

由此，可以得到 \(\mathbb R\) 配备度量 \(d\) 构成度量空间。一个简单的例子是数轴。

指数

首先对于 \(a^n=b\) （\(a\neq 0\)），分三种情况讨论：\(n\in\mathbb Z,n\in\mathbb Q,n\in\mathbb R\)。

对于 \(n\in\mathbb Z_+\) 的情况，就是 \(n\) 个整数连乘。根据实数域性质，它存在且唯一。于是有 \(a=b^{\frac 1n}\)，即扩展到 \(n\in Q\) 的情况。规定 \(a^{-n}=a^{\frac 1n}\)。

然后扩展到一般实数上。设 \(\alpha>0,b<\beta<b'\)，其中 \(\alpha,\beta\) 为实数，\(b,b'\) 为有理数。则 \(\alpha>1\) 的 \(\beta\) 次幂为位于所有 \(\alpha^b,\alpha^{b'}\) 间的实数 \(\gamma\)：

\[\alpha^b<\gamma<\alpha^{b'} \]

也即 \(\gamma=\sup_{b\le\beta}\{\alpha^b\}\)。

对数

对于 \(\alpha^{\beta}=\gamma\)，定义对数运算 \(\log_{\alpha}\gamma=\beta\)，其中 \(\alpha\neq 1\)。通过反证可以说明对数也是存在且唯一的。

最后我们说明阿基米德公理：\(\forall \gamma\in\mathbb R,\exists n\in\mathbb Z_+,n>\gamma\)。

首先其对于有理数成立，然后在确立 \(\gamma\) 的分划的上组内必有有理数，则成立。