这个 win7 的 vscode 感觉很寄，我写的积分求和号这种大符号在本地都渲染不出来。
感觉越来越 MO 力！
看到超理论坛上有人问为啥期望定义是绝对收敛而不是收敛就行，然后看到下边一个例子。回去 oiwiki 发现居然有一模一样的例子。那搬下来。
考虑这么一个随机变量 \(X\)：有 \(\dfrac 1{2^i}\) 的概率为 \((-1)^{i-1}\dfrac{2^i}i\)。求它的期望。
然后我们知道它没有期望，因为交错调和级数条件收敛到 \(\ln 2\)（md 为什么我敲反斜杠老是敲到回车，是这个键盘太引荐了吗）。
然后根据黎曼重排定理，这玩意可以收敛到任意实数值。然而期望显然不能是个任意实数，于是它没期望。
感觉最后一句很感性，但是似乎没啥问题。好像讨论区有拿勒贝格积分解释的，不是很会。
我给 joke3579 扔过去了个 300 页的积分书，然后他给我了个不等式让我证。我不会。放在这里：
\[\frac{2n+1}3\sqrt n\le \sum_{k=1}^n\sqrt k\le \frac{4n+3}6\sqrt n-\frac 16
\]
且等号仅在 \(n=1\) 取得。
然后他给我了个弱化版，看了看切了。长这个样子：
\[\frac{2n}3\sqrt n<\sum_{k=1}^n\sqrt k<\frac{4n+3}6\sqrt n
\]
这个还是比较简单的。左边直接积分可得，右边的话考虑这个积分和实际值之间的误差：对于 \(k-1\sim k\)，误差是
\[\sqrt k-\int_{k-1}^k\sqrt x\text dx
\]
然后考虑到 \(\sqrt x\) 是个上凸函数，于是这个误差小于一个三角形的面积，即 \(\dfrac 12(\sqrt k-\sqrt{k-1})\)。于是得到
\[\sum_{k=1}^n\sqrt k<\frac{2n}3\sqrt n+\sum_{k=1}^n{\sqrt k-\sqrt{k-1}}
\]
把差分消掉就是上边的东西。
然后考虑我不会的那个东西。joke3579 跟我说和群论有关系，但是不是群论。我问啥，他说 Abel。我问啥意思，他说 Abel 变换。鉴定为有点大病。
先看下界。考察 \(\sum_{k=1}^n\sqrt k\) 阿贝尔变换后的结果
\[\begin{aligned}
&\sum_{k=1}^{n-1}k(\sqrt k-\sqrt{k+1})+n\sqrt n\\
=&-\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac k{\sqrt k+\sqrt{k+1}}\right)+n\sqrt n\\
>&-\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac k{2\sqrt k}\right)+n\sqrt n\\
=&\left(-\frac 12\right)(\sum_{k=1}^n\sqrt k-\sqrt n)+n\sqrt n
\end{aligned}
\]
解不等式即得到下界。
然后是上界。考虑到 \(\sum_{k=1}^n\sqrt k=\sum_{k=1}^n\dfrac k{\sqrt k}\)，对其使用阿贝尔变换：
\[\begin{aligned}
&\sum_{k=1}^{n-1}\frac {k(k+1)}2\left(\frac 1{\sqrt k}-\frac 1{\sqrt{k+1}}\right)+\frac{n(n+1)}2\frac 1{\sqrt n}\\
=&\frac 12\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sqrt{k(k+1)}}{\sqrt k+\sqrt{k+1}}+\frac{n(n+1)}2\frac 1{\sqrt n}\\
\end{aligned}
\]
对每一项使用 \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)：
\[\begin{aligned}\\
>&\frac 18\sum_{k=1}^{n-1}\sqrt k+\sqrt{k+1}+\frac{n(n+1)}2\frac 1{\sqrt n}\\
=&\frac 18\left(2\sum_{k=1}^n\sqrt k-\sqrt n-1\right)+\frac{n(n+1)}2\frac 1{\sqrt n}\\
\end{aligned}
\]
仍然解不等式，得到上界。
很魔幻啊！那搬什么题。
