Stoer-Wagner 算法

刚才可能是有用算法。这次是无用算法。

无向图的最小割是最小的边集使得割掉后不连通。Stoer-Wagner 算法可以在 $O(n^3)$ 复杂度内解决无向图最小割。或者说实际上是 $O(nm\log m)$。

首先有一句废话：对于任意两点 $s,t$ ,割掉最小割后，或者处于一个连通块，或者处于不同的两个连通块。

那么考虑如何处理这两种。对于同一连通块的情况，显然可以把 $s,t$ 缩成一个点，然后把所有连出去的边的边权变成连到两个点的边权和。于是我们只要求 $n-1$ 次两点间的最小割，每处理一次缩一个点。

于是考虑如何处理 $s,t$ 间的最小割。显然不是网络流。

构造过程是这样的：设 $w_i$ 为点 $i$ 连出去的所有边的边权和。构造一个集合 $A$ 初始为空，每次选 $w_i$ 最大的一个加入 $A$ 中，那么最后加入的两个点的最小割就是最后加入的点的权值。懒得证明。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,S,T,a[610][610],w[610],ord[610];
bool vis[610],v[610];
int solve(int x){
    memset(w,0,sizeof(w));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    w[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n-x+1;i++){
        int mx=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!v[j]&&!vis[j]&&w[j]>w[mx])mx=j;
        }
        vis[mx]=true;ord[i]=mx;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!v[j]&&!vis[j])w[j]+=a[mx][j];
        }
    }
    S=ord[n-x],T=ord[n-x+1];
    return w[T];
}
int sw(){
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<n;i++){
        ans=min(ans,solve(i));
        v[T]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            a[S][j]+=a[T][j];a[j][S]+=a[j][T];
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        a[u][v]+=w;a[v][u]+=w;
    }
    printf("%d\n",sw());
    return 0;
}