Lyndon 分解

现在只会 lyndon 分解怎么写。所以先放在这里占坑。以后补 Runs 和 Lyndon Tree 相关知识。

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Lyndon Word 及其相关性质

定义：若字符串 $s$ 的最小后缀是它本身，则它是一个 Lyndon Word。

1. Lyndon Word 没有 Border。

证明：如果存在，则 border 作为后缀比它小。
2. 若两个字符串 $u,v$ 为 Lyndon Word，且 $u<v$，则 $uv$ 也是 Lyndon Word。

证明：首先显然开头在 $|u|$ 前的后缀都比 $uv$ 大。若 $|u|\ge |v|$，则在 $|v|$ 前 $uv$ 和 $v$ 就出现了不同，则 $v>uv$，同时 $v$ 是 Lyndon Word，则 $uv$ 的所有后缀都大于它。若 $|u|<|v|$，则若 $u$ 不是 $v$ 前缀，则显然 $v>uv$。反之，将 $v$ 前面 $|u|$ 个字符去掉大于 $v$ ，则 $v>uv$。

3. 若字符串 $s$ 和字符 $x$ 满足 $sx$ 为某个 Lyndon Word 的前缀，则对 字符 $y>x$，$sy$ 是 Lyndon Word。

证明：设 $sxt$ 是 Lyndon Word，则对于 $i\ge 2$，$s[i⟩xt>sxt$，即 $s[i⟩x>s$，因此 $s[i⟩y>s$。而 $y>x>s_1$，因此 $sy$ 是 Lyndon Word。

Lyndon 分解

定义：一个串 $s$ 的 Lyndon 分解为一个字符串序列 $t_1,t_2,\cdots ,t_m$，满足：

1. $t_i$ 为 Lyndon Word。
2. $t_i\ge t_{i+1}$。

定理：Lyndon 分解存在且唯一。

存在性：构造即证明。初始令 $m=|s|$，每一个 $t_i$ 都是单字符。每次找到 $a_i<a_{i+1}$ 并合并为一个串，最后停止的时候即是合法的 Lyndon 分解。

唯一性：假设存在两个 Lyndon 分解 $A,A^{\prime }$，设 $|A_i|>|A_i^{\prime }|$，此时 $A_i=A_i^{\prime }{A}_{i+1}^{\prime }\cdots A_k^{\prime }⟨l]$。那么显然有 $A_i<A_k^{\prime }⟨l]\le A_k^{\prime }\le \cdots \le A_i^{\prime }<A_i$ 矛盾。

Duval 算法

Duval 算法可以在 $O(n)$ 时间复杂度和 $O(1)$ 的额外空间内求得一个串的 Lyndon 分解。它维护三个变量 $i,j,k$，满足任意时刻：

• $s⟨i]$ 的 Lyndon 分解已经固定。
• $s[i,k-1]=t^x+v(x>1)$ 的分解没有固定，$t$ 是 Lyndon Word，且 Lyndon 分解确定的上一个串 $t_g>s[i,k-1]$。$j=k-|t|$。

当前处理到 $k$，分三种情况讨论：

1. $s_j=s_k$ 时，$j,k$ 都 $+1$，仍然不变。
2. $s_j<s_k$ 时，$v+s_k$ 是 Lyndon Word，则不断往前合并，整个 $s[i,k]$ 固定为 Lyndon Word。
3. $s_j>s_k$ 时，$t^x$ 固定为 Lyndon Word，$i$ 调整至 $v$ 的开头。

显然三个指针都是单调的，因此复杂度 $O(n)$。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
char s[5000010];
int n,ans;
int main(){
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;){
		int j=i,k=i+1;
		while(k<=n&&s[j]<=s[k]){
			if(s[j]<s[k])j=i;
			else j++;
			k++;
		}
		while(i<=j){
			ans^=i+k-j-1;
			i+=k-j;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}