Border 理论

cnmd，扫盲。

要开字符串，然而 Lyndon 分解不光大毒瘤而且似乎没什么大用。因此换个方向，来记点结论。应用到时候再开一个。先把结论都记在这里，以后用的时候直接指路过来。

周期和 border

若 $1\le p\le |s|,\mathrm{\forall }i\in [1,|s|-p],s[i]=s[i+p]$，则 $p$ 为 $s$ 的一个周期。若 $p||s|$ 则为整周期。

若 $0\le r\le |s|,s[1,r]=s[|s|-r+1,|s|]$，则 $s[1,r]$ 为 $s$ 的一个 border。

容易发现结论：$s[1,r]$ 为 border 等价于 $|s|-r$ 为周期。

Weak Periodicity Lemma

若 $p,q$ 为字符串 $s$ 周期，$p+q\le |s|$，则 $gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的周期。

证明：不妨设 $p<q$。设 $d=q-p$，则：

1. $i-p>0$：$s[i]=s[i-p]=s[i-p+q]=s[i+d]$。
2. $i+q\le |s|$：$s[i]=s[i+q]=s[i+q-p]=s[i+d]$。

而由 $p+q\le |s|$ 得到 $p\le |s|-q$，因此上面两个包含了所有的 $i$。

还有更强的结论（Periodicity Lemma）：$p+q-gcd(p,q)\le |s|$ 则 $gcd(p,q)$ 也是 $|s|$ 周期。证明找不到。

几个奇异结论

• 定理：若 $2|s|\ge |t|$，则 $s$ 在 $t$ 中出现位置为等差数列。

仅讨论匹配次数达到 $3$ 的情况。

假设 $s$ 在 $t$ 中第一、二次匹配 $s_1,s_2$ 间距为 $d$，另一次匹配和第二次间距为 $q$。那么显然 $d,q$ 都为 $s$ 周期。由 $2|s|\ge |t|$，则 $|t|-|s|\le |s|$。又 $d+q+|s|\le |t|$，得到 $d+q\le |s|$。则 $r=gcd(d,q)$ 为 $s$ 周期。设 $s$ 最小周期为 $p\le r$，显然 $p|r$。

显然 $s_1\cap s_2$ 同样有 $d$ 这一周期。那么显然 $p$ 同样是它的周期。假如 $d$ 不是最小周期，那么 $s_1$ 往右平移 $p$ 就是第二次匹配，矛盾。因此 $d$ 是最小周期。又因为 $p=d|q$，则所有匹配的循环节都是重合的，即构成等差数列。

若等差数列至少 $3$ 项，根据上述证明可以得到公差为 $s$ 的最小周期 $p$，容易得到 $p\le {\displaystyle \frac{|s|}{2}}$。

由此我们有引理：

• 字符串 $s$ 的所有长度不小于 ${\displaystyle \frac{|s|}{2}}$ 的 border 长度组成等差数列。

证明：设长度最大的为 $|s|-p$ ，另一个为 $|s|-q$，容易得到 $gcd(p,q)=p|q$。那么和上一个定理相同，因此构成等差数列。

• 一个串 $s$ 的所有 border 按长度排序后可以分成 $O(\log |s|)$ 段，每段是个等差数列。

证明：首先把长度达到一半的 border 划一个等差数列。考虑它们之中长度最小的，长度一定小于 ${\displaystyle \frac{3}{4}}|s|$ 。

一个更好的界是 $\lceil {\log }_2|s|\rceil$。

经典例题：[WC2016]论战捆竹竿

另外的应用：单次在线 $O(\log n)$ 的基本子串字典（论文题了）和子串循环同构判定。（实现到时候再说）

回文 border

• 定理：回文串的回文后缀（或者前缀）就是 border。

显然。因此有推论：一个字符串的所有回文后缀的长度可以表示为 $O(\log n)$ 个等差数列。

• 定理：回文串 $s$ 有周期 $p$，则一个循环节可以拆成两个回文串，且长度分别为 $|p|-(|s|mod|p|),|s|mod|p|$。

证明可以自己画图。也挺显然。

• 定理：设 $s$ 为回文串 $t$ 最长回文前/后缀，若 $2|s|\ge |t|$，则 $t$ 只会在 $s$ 中匹配这两次。

不是很显然。证一下。

首先 $s$ 的匹配一定成等差数列，公差为 $s$ 的周期。那么 $s$ 的周期也为 $t$ 的周期，即可把 $s$ 的一个循环节拆成两个回文串。假如前两次匹配分别为 $s_1,s_2$，那么 $s_1\cap s_2$ 也是回文串。那么既然 $s_1$ 是最长，那么 $s_1\cap s_2=t$，就只有这两次了。

最小后缀

一些定义：

记 $\text{suf}(s)$ 为 $s$ 的所有后缀。

记 $\text{minsuf}(s)$ 为 $s$ 的最小后缀。

记 $\text{ssuf}(s)$ 为在 $s$ 后边加一个串后可能成为最小后缀的后缀。

• 定理：对于任意两个 $\text{ssuf}s,t$，$|s|<|t|$ 则 $s$ 为 $t$ 前缀。

显然。

• 定理：若两个 $\text{ssuf}s,t$ 满足 $|s|<|t|$，则 $2|s|<|t|$。

证明不会。