多项式杂题

多项式特训。开始大生产运动。不得不说黑题通过数一下就上来了。

由于大多数比较工业所以一律不放代码。

歌被咕了，打算报复性整点活。整活其实不一定需要整活用的曲。

目前打算是放点“确实有歌词”的，现在备选歌单：

1. Credits EX
2. Duplicity Shade
3. Random ("Take #8" Full Version)
4. 脑力
5. Viyella's Memory

P7435 简单的排列计数

先来点比较清新的水一下。然而太久不做多项式题了码的时候出了很大的锅。

首先一个显然的 dp：从小到大插入数，设 $d{p}_{i,j}$ 为插入 $i$ 有 $j$ 个逆序对的答案，那么

$$d{p}_{i,j}=\sum _{k=0}^{i-1}d{p}_{i-1,j-k}{i}^k$$

然后你发现这玩意不就是

$$\prod _{i=1}^n{f}_i$$

其中

$$f_i=\sum _{n=0}^{i-1}{i}^n{x}^n=\frac{1-(ix{)}^i}{1-ix}$$

那么套路 $\ln \exp$ 一下。

分子：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\ln (1-(ix{)}^i)\\ =& -\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}\frac{(ix{)}^{ij}}{j}\end{array}$$

$O(min(n,k)\log k)$。

分母：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\ln (1-ix)\\ =& -\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}\frac{(ix{)}^j}{j}\\ =& -\sum _{j=1}\frac{x^j}{j}\sum _{i=1}^n{i}^j\\ =& -\sum _{j=1}\frac{x^j}{j(j+1)}\sum _{i=0}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+1}{i})B_i(n+1{)}^{j-i+1}\\ =& -\sum _{j=1}\frac{x^j}{j(j+1)}(-B_{j+1}+(j+1)!\sum _{i=0}^{j+1}\frac{B_i}{i!}\frac{(n+1{)}^{j+1-i}}{(j+1-i)!})\end{array}$$

爆算就行了。提醒忘了的同学伯努利数的 EGF 是 ${\displaystyle \frac{x}{e^x-1}}$。

然后是我太久不写多项式题了导致写的时候出现的一些锅：

1. 提取 EGF 系数没乘阶乘。
2. 经典数组不清空。
3. $\ln$ 把负号吃了。
4. 注意分子第一个上界是 $min(n,k)$。

P2767 树的数量

早就写了，然而现在水一下博。

容易得到答案的生成函数

$$F=x(1+F{)}^m$$

那拉格朗日反演

$$[x^n]F=\frac{1}{n}[x^{n-1}](1+x{)}^{nm}=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{n-1})}{n}$$

写 lucas。

P5219 无聊的水题 I

我们知道这玩意可以变成 Prufer 序列。那么就是 $n-2$ 长度值域 $n$ 出现次数最多元素出现 $m$ 次的序列个数。容斥一下变成出现次数不超过 $m$ 次，那这玩意显然是

$$(n-2)![x^{n-2}]{\left(\sum _{i=0}^{m-1}\frac{x^i}{i!}\right)}^n$$

我这一版的求逆没有清空调了半天。日。

P5900 无标号无根树计数

我以为难度全都在代码。

首先套路考虑有根树然后把根不是中心的砍掉。钦定一个根，剩下的就是个 MSET。所以

$$F(x)=x\exp \sum _{i=1}\frac{F(x^i)}{i}$$

现在的问题是怎么算这个东西。一个 trivial 的想法是套个牛顿迭代上去。

$$\begin{array}{rl}F(x)=& x\exp \sum _{i=1}\frac{F(x^i)}{i}\\ \frac{F(x)}{x}=& \exp \sum _{i=1}\frac{F(x^i)}{i}\\ \ln \frac{F(x)}{x}=& \sum _{i=1}\frac{F(x^i)}{i}\\ \ln \frac{F(x)}{x}-F(x)-G=0\end{array}$$

其中 $G=\sum _{i=2}\frac{F(x^i)}{i}$。于是有牛顿迭代式子：

$$F=F_0-\frac{\ln \frac{F_0}{x}-F_0-G}{\frac{1}{F_0}-1}$$

实际上似乎不是想象中那么难写。

然后考虑怎么统计答案。首先如果根不是重心，那么肯定有一个儿子大于 $\lceil {\displaystyle \frac{n}{2}}\rceil$，枚举这个儿子大小算就行了。另外，如果 $n$ 是偶数，那么 ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ 被算了两次，要减掉一次。

loj6538. 烷基计数 加强版 加强版

曾经记得写过某篇题解说过这玩意的生成函数就是

$$F=x{\text{MSET}}_3(F)+1=x\frac{F(x{)}^3+3F(x)F(x^2)+2F(x^3)}{6}+1$$

牛顿迭代。式子是：

$$F(x)=F_0(x)=\frac{x(F_0(x{)}^3+3F_0(x)F_0(x^2)+2F_0(x^3))-6F_0(x)+6}{3x(F_0(x{)}^2+F_0(x^2))-6}$$

P6597 烯烃计数

把碳碳双键拆开变成两个根不超过 $2$ 个儿子，其他节点不超过 $3$ 个儿子的无标号有根树计数。那你一棵树就是两个烷基计数合起来，就是

$$G(x)=x{\text{MSET}}_2(F)+1=x\frac{F(x{)}^2+F(x^2)}{2}+1$$

碳碳双键相当于把两个拼一块，再套一个 $\text{MSET}$。

$$H(x)=x\frac{(G(x)-1{)}^2+G(x^2)-1}{2}$$

我发现我写代码的时候老是把 $F(x^2)$ 写成 $F(x)$。

P6598 烷烃计数

首先无根树先看成有根树。然后就是根节点做个 ${\text{MSET}}_4$。式子好长。

$$G(x)=x\frac{F(x{)}^4+6F(x{)}^{2}F(x^2)+3F(x^2{)}^2+8F(x)F(x^3)+6F(x^4)}{24}$$

去重采用和无标号无根树计数相同的策略即可。

看了看题解似乎有更加高妙的方法。刚才是钦定一个根的情况，设为 $p$。然后我们再枚举钦定一条边的情况，把两边拼起来（就是套个 ${\text{MSET}}_2$），记为 $q$，设 $s=1$ 当且仅当有两个重心且等价，显然是把 $F(x)$ 复读一遍，即 $F(x^2)$。那么我们的答案就是 $p-q+s$。

正确性考虑除重心外的点和其父亲边的贡献。若两个点等价，则其父亲边也等价，可以减掉。而重心不可能和其父亲边等价。而当有两个重心的时候，我们在重心等价时加上了 $s$ 即可保证不漏掉。以上是 loj6512. 「雅礼集训 2018 Day8」C 的正解。

P4233 射命丸文的笔记

假期望。

先考虑哈密顿回路个数。$n$ 个节点一个环排列然后剩下的边随便定向，方案显然 $(n-1)!2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})-n}$。然后考虑分母。就是强连通竞赛图个数。

考虑使用普通竞赛图表示强连通竞赛图。普通的显然是 $2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}$。

发现竞赛图由于每两个点之间都有连边所以拓扑序唯一。那么强连通缩点之后就是一串强连通竞赛图排一排。也就是 $\text{Sequence}$ 构造。那么我们设普通竞赛图为 $G$ ，强连通为 $F$，则有

$$G=\text{SEQ}(F)=\frac{1}{1-F}$$

$$F=1-\frac{1}{G}$$

完事。

tmd 我为什么 EGF 又忘乘阶乘。

P6295 有标号 DAG 计数

似乎 WC2019 中提到所谓“组合生成函数”用来计数带标号有向图，但是似乎泛用性并不高的样子。那就不管这个了。

考虑先求出任意的 DAG 然后给个 $\ln$。

像树枚举根，对于 DAG 我们枚举有几个源点。

设 $f_n$ 为 $n$ 个点的方案数。那么枚举 $k$ 个源点向剩下的点任意连边，方案数显然

$$\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})2^{n(n-k)}{f}_{n-k}$$

显然会算重，想都不用想。经典容斥可以得到

$$f_n=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^{k+1}{2}^{n(n-k)}{f}_{n-k}$$

看着像卷积。但是得先搞明白组合数和 $2^{n(n-k)}$。组合数可以使用二项卷积的套路。对于后边这个东西，我们在 Chirp-Z Transform 里边见过：

$$n(n-k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{2})$$

那就没了。设 $g_i={\displaystyle \frac{(-1{)}^{i+1}{x}^i}{i!2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2})}}}$，那么显然 $F(x)=F(x)G(x)+1$。求个逆再取 $\ln$ 就行了。

今天先这样。去贺一份有标号荒漠计数的线性做法。