二项式系数，组合数

upd on 2023.2.22：今天是 b20 日，发现我半年多前写的这个东西是个什么几把，决定找时间翻修一下。

首先那些最基本的东西应该都不用说了。加法原理乘法原理小学生都会，组合数排列数初中也该会了（最起码应该见过吧）。下面讲一点别的。

多重集的排列数：一个多重集， $n$ 个元素，有 $k$ 种，它的全排列是

\frac{n!}{\prod_{i = 1}^{k} n_{k}!}

感性理解一下就是整个的全排列除以每个相同元素内部的全排列（因为它们都是一样的）。

多重集的组合数：从这个多重集中选出 $r$ 个 $(r \leq n_{i})$ 组成一个多重集的选法为 $(\binom{r + k - 1}{k - 1})$ 。

不相邻排列：从 $1 - n$ 这些自然数中选 $k$ 个互不相邻的数的选法数为 $(\binom{n - k + 1}{k})$ 。
证明考虑插板法，设 $n = m + k$ ，相当于用 $k$ 个数插 $m + 1$ 个空，即 $(\binom{m + 1}{k}) = (\binom{n - k + 1}{k})$ 。

错排： $1 - n$ 的全排列，第 $i$ 个数不是 $i$ 的排列数递推式为：

g (1) = 0 g (2) = 1

g (n) = (n - 1) (g (n - 1) + g (n - 2))

比较重要，有时候很常用。

圆排列： $n$ 个人选 $r$ 个围一圈，排列数为 $Q_{n}^{r} = \frac{A_{n}^{r}}{r}$ 。证明考虑从 $r$ 个位置断开，每个位置都是不同排列。

然后是一群组合恒等式。（这个我觉得更不完）

(\binom{n}{m}) = (\binom{n}{n - m})

相当于取补集，结果不变。

(\binom{n}{m}) = \frac{n}{m} (\binom{n - 1}{m - 1})

把组合数拆开。

(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m - 1})

考虑组合意义， $n$ 个选 $m$ 个相当于这两种情况加起来。

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}

二项式定理。还有个广义的， $r$ 可以取到全体复数，定义广义二项式系数为 $(\binom{n}{m}) = \frac{n^{\underset{―}{m}}}{m!}$ 然后把上界去掉。而且这玩意对阶乘幂也成立。

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{n}

二项式定理中 $a = b = 1$ 的情况。

\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{k - i}) = (\binom{n + m}{k})

范德蒙德卷积。

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{a}) (\binom{n - i}{b}) = (\binom{n + 1}{a + b + 1})

倒过来的范德蒙德卷积。有个经典的组合意义。

\sum_{i = 0}^{n} ((\binom{n}{i}))^{2} = (\binom{2 n}{n})

上式取 $n = m$ 。

(\binom{n}{r}) (\binom{r}{k}) = (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{r - k})

仍然是拆开。

\sum_{i = 0}^{n} i (\binom{n}{i}) = n 2^{n - 1}

\sum_{i = 0}^{n} i^{2} (\binom{n}{i}) = n (n + 1) 2^{n - 2}

这俩详见CF932E。还有一个题是省选联考那个组合数问题。

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n - i}{i}) = F_{n + 1}

$F$ 为斐波那契数列。

\sum_{i = 0}^{m} (\binom{n + i}{i}) = (\binom{n + m + 1}{m})

平行求和法。

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{m}) = (\binom{n + 1}{m + 1})

上指标求和。

(\binom{n}{m}) = (- 1)^{m} (\binom{m - n - 1}{m})

上指标反转。

posted @ 2022-09-03 19:26 gtm1514 阅读(179) 评论(0) 编辑收藏举报

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